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| Aufgabe | B= [mm] \pmat{ 0,5*\wurzel{3}&-0,5 \\ 0,5 & -0,5*\wurzel{3} }
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Determinante von B
b) Bestimmen Sie die Bildvektoren der Einheitsvektoren
c)Untersuchen sie ob die Abbildung Form-/ Flächenerhaltend ist
d) handelt es sich um eine besondere Abbildung, wenn ja, welche? |
Hallo erstmal zusammen.....
Also wie ihr so seht ist das meine Aufgabe und ich bin gerade einmal in der Lage die Nummer a) zulösen
det. B = ad-bc wenn [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }
[/mm]
also -0,5 wenn man das ausrechnet, oder?
Aber bei dem Rest weiß ich nichteinmal was gefordert ist!
Kann mir bitte jemand helfen?
Gruß Aldiimwald
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 Mi 23.08.2006 | | Autor: | Leto |
Hallo erstmal aldiimwald!
Wenn ich wir uns nicht beide verrechnet haben, dann hast du mit der Determinante Recht.
Zum Teil b) möchte ich dir ein paar Tipps geben:
1) Die Einheitsvektoren sind in diesem Fall [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1}.
[/mm]
2) Das Bild eines Vektors bezüglich der Matrix(schreibweise) einer Abbildung ist A * x, wenn A die Matrix ist und x der Vektor.
Ich hoffe das hilft dir weiter.
Zu den anderen beiden Teilaufgaben: Wenn mit "Formerhaltend" das gleiche gemeint ist, das ich unter "Winkelerhaltend" kenne, dann musst du prüfen, ob beim Skalarprodukt von Bx mit By das gleiche rauskommt wie bei dem von x mit y. Flächenerhaltend: ?? (keine Ahnung...)
Bei d) fällt mir jetzt so spontan nichts ein, wahrscheinlich hat es etwas damit zu tun, dass die Matrix die Gestalt [mm] \pmat{ a & -b \\ b & -a } [/mm] hat. Könnte es evtl. sein, dass du dich beim Abschreiben vertan hast? Matrizen von der Form [mm] \pmat{ a & b \\ b & -a } [/mm] sind Spiegelungen, solche von der Form [mm] \pmat{ a & -b \\ b & a } [/mm] beschreiben Drehungen.
Nun denn, viel Erfolg noch damit.
Liebe Grüße, Leto.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:10 Mi 23.08.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Leto!
> Bei d) fällt mir jetzt so spontan nichts ein,
> wahrscheinlich hat es etwas damit zu tun, dass die Matrix
> die Gestalt [mm]\pmat{ a & -b \\ b & -a }[/mm] hat. Könnte es evtl.
> sein, dass du dich beim Abschreiben vertan hast? Matrizen
> von der Form [mm]\pmat{ a & b \\ b & -a }[/mm] sind Spiegelungen,
> solche von der Form [mm]\pmat{ a & -b \\ b & a }[/mm] beschreiben
> Drehungen.
Ich kenne mich damit nie genau aus, aber müsste dann eine Matrix der Form [mm] \pmat{a&-b\\b&-a} [/mm] nicht eine "Drehspiegelung" sein? Also halt von mir aus erst gespiegelt und dann gedreht? Oder auch umgekehrt?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Ich glaube ich habe eine Lösung für b) gefunden:
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \pmat{ 0,5*\wurzel{3} \\ -0,5 }
[/mm]
[mm] \vec{x}' [/mm] = [mm] \pmat{ 0,5*\wurzel{3} \\ -0,5 } [/mm] * [mm] \pmat{ 0,5*\wurzel{3} & 0,5 \\ 0,5 & -0,5*\wurzel{3}} [/mm] =
[mm] \pmat{ 0,75 & -0,25 \\ 0,25*\wurzel{3}& 0,25*\wurzel{3}}
[/mm]
stimmt das?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:08 Mi 23.08.2006 | | Autor: | Aldiimwald |
ok hab selber gesehen dass es falsch ist
aber wie geht das dann?
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Hallo!
> Ich glaube ich habe eine Lösung für b) gefunden:
>
> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\pmat{ 0,5*\wurzel{3} \\ -0,5 }[/mm]
>
> [mm]\vec{x}'[/mm] = [mm]\pmat{ 0,5*\wurzel{3} \\ -0,5 }[/mm] * [mm]\pmat{ 0,5*\wurzel{3} & 0,5 \\ 0,5 & -0,5*\wurzel{3}}[/mm]
> =
>
> [mm]\pmat{ 0,75 & -0,25 \\ 0,25*\wurzel{3}& 0,25*\wurzel{3}}[/mm]
>
> stimmt das?
Ich weiß nicht, was du hier überhaupt gemacht hast... Was hat Leto denn erklärt? Du musst die Matrix mit den Einheitsvektoren multiplizieren. Also:
[mm] \pmat{0,5\cdot{}\wurzel{3}&-0,5 \\ 0,5 & -0,5\cdot{}\wurzel{3}}*\vektor{1\\0} [/mm] = ???
und
[mm] \pmat{0,5\cdot{}\wurzel{3}&-0,5 \\ 0,5 & -0,5\cdot{}\wurzel{3}}*\vektor{0\\1} [/mm] = ???
Das wirst du doch sicher berechnen können. 
Viele Grüße
Bastiane
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:12 Mi 23.08.2006 | | Autor: | Aldiimwald |
die ergebnise hab ich aus den komischen aufzeichnungen von unserem lehrer....
hab das so berechnet wie du gesagt hast....
weißt du auch wie die anderen aufgaben gehen?
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Also, Formerhaltend bedeutet in jedem Fall erstmal Winkelerhaltend. Das wurde oben ja schon erklärt, es muß gelten:
[mm] $\vec [/mm] x * [mm] \vec [/mm] y [mm] =(B\vec [/mm] x) * [mm] (B\vec [/mm] y)$
Flächenerhaltend bedeutet, daß zusätzlich auch noch die Fläche, die z.B. zwei Vektoren aufspannen, gleich bleibt. Zusammen mit der ersten Forderung heißt das auch, daß jeder Vektor seine Länge behalten muß. (Stell dir ein Dreieck vor: Wenn die Winkel sich nicht ändern, kann sich nur noch die Größe, damit also die Fläche bzw die Längen der Seiten ändern)
Es gibt nun zwei Wege:
Ob die Längen erhalten sind, kannst du so prüfen:
[mm] $\vec [/mm] x * [mm] \vec [/mm] x [mm] =(B\vec [/mm] x) * [mm] (B\vec [/mm] x)$
Ob die Flächen gleich bleiben, kannst du so prüfen:
Kennst du die anschauliche Bedeutung einer Determinante? Wenn du die Spalten der Matrix als Vektoren auffaßt, gibt dir die Determinante die Fläche, die die Spaltenvektoren aufspannen (also ein Parallelogramm)
Also: Die beiden Vektoren [mm] $\vec x=\vektor{x_1 \\ x_2}$ [/mm] und [mm] $\vec y=\vektor{y_1 \\ y_2}$ [/mm] bilden zusammen ein Parallelogramm. Dieses Parallelogramm hat die Fläche $A=det [mm] \pmat{x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2}$
[/mm]
Falls die Matrix, die du aus [mm] $(B\vec [/mm] x)$ und [mm] $(B\vec [/mm] y)$ bildest, die gleiche Matrix hat, ist deine Abbildung B Flächenerhaltend!
(Gilt übrigens auch im Dreidimansionalen, allerdings ists da das Volumen...)
Zur d)
Es gibt bestimmte Winkel, für die sin und cos spezielle Werte annehmen, und genau das passiert hier:
[mm] $\sin(30°)=\bruch{1}{2}$
[/mm]
[mm] $\cos(30°)=\bruch{\wurzel{3}}{2}$
[/mm]
Damit kannst du deine Matrix umschreiben:
[mm] $\pmat{\cos(30°) & -\sin(30°) \\ \sin(30°) & -\cos(30°)}$
[/mm]
Spätestens hier denke ich auch, daß du dich da mit einem Minuszeichen vertan hast.
Die Drematrix ist [mm] $\pmat{\cos(30°) & \sin(30°) \\ -\sin(30°) & \cos(30°)}$. [/mm] Sie dreht jeden Vektoer um 30° um den Ursprung. Ich hätte jetzt gesagt, daß sich deine Matrix aus einer Drehung und einer Spiegelung zusammensetzten läßt, das ist hier aber nicht der Fall.
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