Abb. quadratischer Gleichung < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:59 Do 10.01.2008 | | Autor: | Torboe |
| Aufgabe | Liegt eine Abbildung vor?
a) jeder quadratischen Gleichung x²+px+q=0 wird ihrer Lösung zugerechnet.
b) ... x² + px + [mm] \bruch{p²}{4}=0 [/mm] |
Liegt eine Abbildung vor?
a) jeder quadratischen Gleichung x²+px+q=0 wird ihrer Lösung zugerechnet.
b) ... x² + px + [mm] \bruch{p²}{4}=0 [/mm] </task>
Laut Lösung:
a) ist keine Abbildung, da nicht eindeutig
b) ist eine Abbildung... da man mit der binomischen Formel die Lösung [mm] (x+\bruch{p}{2})² [/mm] findet
Meine Frage lautet:
Warum ist a keine Abbildung? Das ganze ergibt doch ne Parabel und eine Parabel ist doch eigentlich immer surjektiv und damit ja eine Abbildung.
Vielen Dank im voraus!
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Hallo Torboe,
na, wenn das Ding in (a) ne Abbildung wäre, dürfte sie jeder quadratischen Gleichung doch nur genau einen Wert zuweisen.
Also [mm] $f(x^2+px+q)=L$, [/mm] wobei $L$ die Lösung der quadr. Gleichung sein soll
So ist ja eine Abbildung definiert.
Was machst du aber mit zB der Gleichung [mm] $x^2+2x-3=0$
[/mm]
Die hat 2 Lösungen [mm] x_1=1, x_2=-3
[/mm]
Welche Lösung willst du also [mm] x^2+2x-3 [/mm] zuordnen?
Da geht dir also die Eindeutigkeit der Zuordnung flöten
Im anderen Fall hat die quadrat. Gleichung [mm] \left(x+\frac{p}{2}\right)^2=0 [/mm] stets genau eine Lösung, also kannst du ihr eindeutig genau einen Wert, nämlich ihre Lösung, zuweisen...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Do 10.01.2008 | | Autor: | Torboe |
ok, danke erstmal.
wenn das so ist, dann versteh ich schon wieso es keine abbildung ist.
aber in meinem buch, ist eine abbildung eine funktion, und da für mich eine parabel eine funktion ist, dachte ich es muss eine abbildung sein.
und was ist bspw. mit so x³ funktionen, die so eine schlange wie ~ bilden, denen können doch auch an manchen stellen einem y-wert 2 x-werte zugeordnet werden, oder nicht? und die sind doch surjektiv ?! und somit eine abbildung.
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Hallo nochmal,
Achtung, es geht ja hier nicht um die (quadratischen) Parabeln oder kubische Funktionen, das sind natürlich allesamt Abbildungen.
Hier geht es um eine Abbildung f, die einer quadratischen Funktion ihre Nullstelle zuordnet, das ist was anderes!!
Nennen wir doch [mm] $M=\text{Menge aller Abbildungen der Form wie in (a):} p(x)=x^2+px+q$
[/mm]
Dann sollst du prüfen, ob die Abbildung f, die einem solchen p(x) ihre Nullstelle zuweist, eine Abbildung ist.
Dummerweise ist mit meinem obigen Beispiel aber ein q(x) in der Menge M, das 2 Nullstellen hat.
Diesem kannst du dann nicht eindeutig eine Nullstelle zuweisen, sie hat ja 2
f müsste aber - damit es eine Abbildung ist - JEDEM Element von M, also jeder Funktion [mm] $p(x)=x^2+px+q$ [/mm] genau einen Wert zuweisen
Das tut es aber nicht - siehe Bsp.
Also kann dieses f, was diese Zuordung vornehmen soll, keine Abbildung sein
Überlege nun selbst, wie das bei Funktionen dritten Grades ist.
Gibt's da mehrere Nullstellen oder gibt es bestimmte Funktionen, die genau eine NST haben?
Da wäre dann eine solche Zuordnung wie oben wieder eindeutig...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 Do 10.01.2008 | | Autor: | Torboe |
ok, das ergibt sinn :) ! das hab ich gecheckt. bei funktionen dritten grades, würd ich dann bei der zuordnung der nst. zu einer fkt. der form x³+px+q sagen:
- es gibt eindeutige (nur eine nst) abbildungen
- es gibt fälle, bei denen einer fkt. 3 nst zugeordnet werden - sprich keine abbildung
- es gibt fälle, bei denen einer fkt. 2 nst zugeordnet werden - sprich keine abbildung
ich hoffe das stimmt so. und vielen dank dann nochmal, echt sehr cool von dir!
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Hallo,
ok, das ist noch etwas "schwammig", geht aber schon in die richtige Richtung
Das Entscheidende für deinen speziellen Fall der Funktionen der Gestalt [mm] $P(x)=x^3+px+q$ [/mm] ist:
Es gibt sicher Fälle, also Funktionen der Gestalt [mm] $P(x)=x^3+px+q$, [/mm] die mehr als eine NST haben, zB für $q=0$ und $p=-4$, also [mm] $\tilde{P}(x)=x^3-4x$
[/mm]
Die hat sogar 3 Nullstellen, also ist auch hier keine eindeutige Zuweisung einer Nullstelle möglich.
Also wäre eine "Abbildung" f, die einer (beliebigen) Funktion der Gestalt [mm] P(x)=x^3+px+q [/mm] ihre Nullstelle zuweist, gar keine
Und damit gibt es auch erst recht keine Abbildung, die einer allg. ganzrationalen Funktion dritten Grades [mm] P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ [/mm] ihre NST zuweist
Denn die obige Bspfunktion ist ja bei diesen allg. dabei (a=1,b=0,c=-4,d=0)
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:11 Fr 11.01.2008 | | Autor: | Torboe |
jo ich verstehe was du meinst. danke nochmal.
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