A x B offen bzw. abg. Mengen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:39 Mo 25.06.2007 | | Autor: | vivo |
Hallo Allerseits,
Seien A,B [mm] \subset \IR [/mm] beliebeige Teilmengen, man zeige
a) (A x B)° = A° x B°
b) [mm] \overline{A x B} [/mm] = [mm] \overline{A} [/mm] x [mm] \overline{B}
[/mm]
lösung zu a)
es sei (x,y) [mm] \in [/mm] (A x B)° , dann gibt es ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 mit [mm] B_\varepsilon((x,y)) \subset [/mm] A x B
setzen wir [mm] \varepsilon_1 [/mm] := [mm] \varepsilon [/mm] / [mm] \wurzel{2} [/mm] so gilt
[mm] B_{\varepsilon 1}(x) [/mm] x [mm] B_{\varepsilon 1}(y) \subset B_\varepsilon((x,y)) \subset [/mm] A x B
d.h. (x,y) [mm] \in [/mm] A° x B°
Ist (x,y) [mm] \in [/mm] A° x B° so existieren ein [mm] \varepsilon_1 [/mm] >0 und ein [mm] \varepsilon_2 [/mm] >0 mit
[mm] B_{\varepsilon 1}(x) \subset [/mm] A und [mm] B_{\varepsilon 2}(y) \subset [/mm] B
mit [mm] \varepsilon [/mm] := [mm] min(\varepsilon_1,\varepsilon_2) [/mm] erhält man
[mm] B_\varepsilon((x,y)) \subset B_{\varepsilon 1}(x) [/mm] x [mm] B_{\varepsilon 2}(y) \subset [/mm] A x B
d.h. (x,y) [mm] \in [/mm] (A x B)°
also ich versteh dass schon so einigermaßen! Es fällt mir nur wahnsinnig schwer mir dass irgendwie vorzustellen!
Wie kommt man auf: setzen wir [mm] \varepsilon_1 [/mm] := [mm] \varepsilon [/mm] / [mm] \wurzel{2}
[/mm]
Die Lösung der b) ist doch exakt gleich nur dass man anstelle von offenen Kugeln [mm] B_\varepsilon [/mm] geschlossene Kugeln [mm] \overline{B_\varepsilon} [/mm] betrachtet oder ???
schon mal vielen Dank für eure Hilfe!!!
|
|
| |
|
> Hallo Allerseits,
>
> Seien A,B [mm]\subset \IR[/mm] beliebeige Teilmengen, man zeige
>
> a) (A x B)° = A° x B°
>
> b) [mm]\overline{A x B}[/mm] = [mm]\overline{A}[/mm] x [mm]\overline{B}[/mm]
>
> lösung zu a)
>
Wie wärs, wenn Du klar schreiben würdest, was Du nun gleich beweisen möchtest. Etwa zuerst die Inklusion
[mm](A\times B)^\circ \subseteq A^\circ\times B^\circ[/mm]
und danach die Inklusion
[mm](A\times B)^\circ \supseteq A^\circ\times B^\circ[/mm]
> es sei (x,y) [mm]\in[/mm] (A x B)° , dann gibt es ein [mm]\varepsilon[/mm] >
> 0 mit [mm]B_\varepsilon((x,y)) \subset[/mm] A x B
>
> setzen wir [mm]\varepsilon_1[/mm] := [mm]\varepsilon[/mm] / [mm]\wurzel{2}[/mm]
Warum machst Du dies? Ist nicht die Projektion einer offenen Umgebung auf die Koordinatenräume eine offene Umgebung, d.h. gilt nicht [mm]B_{\varepsilon}(x)\subseteq A^\circ[/mm] und [mm]B_{\varepsilon}(y)\subseteq B^\circ[/mm]? So dass man also genausogut hätte schreiben können:
[mm]B_{\varepsilon}(x)\times B_{\varepsilon}(y) \subseteq A^\circ\times B^\circ[/mm]
> so
> gilt
>
> [mm]B_{\varepsilon 1}(x)[/mm] x [mm]B_{\varepsilon 1}(y) \subset B_\varepsilon((x,y)) \subset[/mm]
> A x B
>
> d.h. (x,y) [mm]\in[/mm] A° x B°
>
Diese Inklusionsrichtung,
[mm](A\times B)^\circ \supseteq A^\circ\times B^\circ[/mm]
könnte man, denke ich, einfacher mit Hilfe der Stetigkeit der Projektion auf die Koordinatenachsen beweisen: denn die inversen Projektionen von [mm]A^\circ[/mm] und [mm]B^\circ[/mm] sind offene Mengen (Grund: inverse Bilder offener Mengen bezüglich stetigen Abbildungen sind offen). Deren Durchschnitt, die Menge [mm]A^\circ\times B^\circ[/mm], ist daher eine offene Menge und in [mm]A\times B[/mm] natürlich enthalten: also auch in [mm](A\times B)^\circ[/mm] enthalten.
> Ist (x,y) [mm]\in[/mm] A° x B° so existieren ein [mm]\varepsilon_1[/mm] >0
> und ein [mm]\varepsilon_2[/mm] >0 mit
>
> [mm]B_{\varepsilon 1}(x) \subset[/mm] A und [mm]B_{\varepsilon 2}(y) \subset[/mm]
> B
>
> mit [mm]\varepsilon[/mm] := [mm]min(\varepsilon_1,\varepsilon_2)[/mm] erhält
> man
>
> [mm]B_\varepsilon((x,y)) \subset B_{\varepsilon 1}(x)[/mm] x
> [mm]B_{\varepsilon 2}(y) \subset[/mm] A x B
>
> d.h. (x,y) [mm]\in[/mm] (A x B)°
>
> also ich versteh dass schon so einigermaßen!
Es stimmt auch, denke ich.
> Es fällt mir
> nur wahnsinnig schwer mir dass irgendwie vorzustellen!
Na, im [mm]\IR^2[/mm] kann das nicht so schwer sein. Nimm einfach ganz blödsinnig einfache Mengen [mm]A,B[/mm] z.B. Intervalle. Da Du die ganze Überlegung ohnehin mit der (stetigen) Projektion und/oder Rückprojektion von [mm]\varepsilon[/mm] Umgebungen machst, kommt es für den Verlauf der Überlegung eigentlich nur auf ein Teilintervall von [mm]A[/mm] bzw. [mm]B[/mm] an, bzw. auf ein Teilrechteck von [mm]A\times B[/mm].
>
> Wie kommt man auf: setzen wir [mm]\varepsilon_1[/mm] := [mm]\varepsilon[/mm]
> / [mm]\wurzel{2}[/mm]
Eben, das versteh ich auch nicht. Ich empfinde dies als überflüssige Komplikation: Die Projektion einer offenen Kreisscheibe [mm]B_{\varepsilon}((x,y))[/mm] in der Ebene auf die Koordinatenachsen ist ein offenes Intervall
[mm]B_{\varepsilon}(x) = \;]x-\varepsilon;x+\varepsilon[[/mm] bzw. [mm]B_{\varepsilon}(y) = \;]y-\varepsilon;y+\varepsilon[[/mm]
> Die Lösung der b) ist doch exakt gleich nur dass man
> anstelle von offenen Kugeln [mm]B_\varepsilon[/mm] geschlossene
> Kugeln [mm]\overline{B_\varepsilon}[/mm] betrachtet oder ???
Da wäre ich nicht so sicher. Aber Du kannst es ja mal im Detail hinschreiben und schauen, ob jeder Schritt tatsächlich in Ordnung ist. Eine andere Möglichkeit wäre stattdessen zu zeigen, dass Punkte, die nicht in [mm]\overline{A\times B}[/mm] liegen, für die also eine offene [mm]\varespilon[/mm]-Umgebung existiert, die sie von [mm]\overline{A\times B}[/mm] trennt, die Eigenschaft haben, dass sie auch eine offene Umgebung von [mm]\overline{A}\times \overline{B}[/mm] trennt. Und entsprechend für die andere Inklusionsrichtung. Das heisst, man kann auch versuchen zu zeigen, dass die beiden Mengen dasselbe (offene) Komplemement haben.
>
> schon mal vielen Dank für eure Hilfe!!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:00 Mo 25.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen
> > Seien A,B [mm]\subset \IR[/mm] beliebeige Teilmengen, man zeige
> >
> > a) (A x B)° = A° x B°
> >
> > b) [mm]\overline{A x B}[/mm] = [mm]\overline{A}[/mm] x [mm]\overline{B}[/mm]
> >
> > lösung zu a)
> >
> Wie wärs, wenn Du klar schreiben würdest, was Du nun gleich
> beweisen möchtest. Etwa zuerst die Inklusion
> [mm](A\times B)^\circ \subseteq A^\circ\times B^\circ[/mm]
> und
> danach die Inklusion
> [mm](A\times B)^\circ \supseteq A^\circ\times B^\circ[/mm]
>
> > es sei (x,y) [mm]\in[/mm] (A x B)° , dann gibt es ein [mm]\varepsilon[/mm] >
> > 0 mit [mm]B_\varepsilon((x,y)) \subset[/mm] A x B
> >
> > setzen wir [mm]\varepsilon_1[/mm] := [mm]\varepsilon[/mm] / [mm]\wurzel{2}[/mm]
>
> Warum machst Du dies?
Weil das die einfachste allgemeine Moeglichkeit ist, die Inklusion [mm] $B_\varepsilon((x, [/mm] y)) [mm] \subseteq B_{\varepsilon/\sqrt{2}}(x) \times B_{\varepsilon/\sqrt{2}}(y)$ [/mm] zu bekommen. Im Spezialfall $(x, y) = (0, 0)$ bedeutet das ja grade:
Wenn du $a, b [mm] \in \IR$ [/mm] hast mit $|a| < [mm] \varepsilon/\sqrt{2}$ [/mm] und $|b| < [mm] \varepsilon/\sqrt{2}$, [/mm] so ist $|(a, b)| = [mm] \sqrt{a^2 + b^2} [/mm] < [mm] \sqrt{2 \cdot \varepsilon/\sqrt{2}} [/mm] = [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Diese Inklusion ist hier allerdings etwas zu allgemein (siehe das Argument von Somebody). Aber so kann man sich das auch vorstellen. (Diese Inklusion ist praktisch, wenn man zeigen moechte, dass die Produkttopologie von [mm] $\IR \times \IR$ [/mm] mit der durch die Norm auf [mm] $\IR^2$ [/mm] induzierten uebereinstimmt.)
> Ist nicht die Projektion einer
> offenen Umgebung auf die Koordinatenräume eine offene
> Umgebung, d.h. gilt nicht [mm]B_{\varepsilon}(x)\subseteq A^\circ[/mm]
Erstmal gilt [mm] $B_\varepsilon(x) \subseteq [/mm] A$. Aber da [mm] $B_\varepsilon(x)$ [/mm] offen ist, folgt dann auch [mm] $B_\varepsilon(x) \subseteq \mathring{A}$.
[/mm]
> und [mm]B_{\varepsilon}(y)\subseteq B^\circ[/mm]? So dass man also
> genausogut hätte schreiben können:
> [mm]B_{\varepsilon}(x)\times B_{\varepsilon}(y) \subseteq A^\circ\times B^\circ[/mm]
>
> > so
> > gilt
> >
> > [mm]B_{\varepsilon 1}(x)[/mm] x [mm]B_{\varepsilon 1}(y) \subset B_\varepsilon((x,y)) \subset[/mm]
> > A x B
> >
> > d.h. (x,y) [mm]\in[/mm] A° x B°
> >
>
>
> Diese Inklusionsrichtung,
> [mm](A\times B)^\circ \supseteq A^\circ\times B^\circ[/mm]
> könnte
> man, denke ich, einfacher mit Hilfe der Stetigkeit der
> Projektion auf die Koordinatenachsen beweisen: denn die
> inversen Projektionen von [mm]A^\circ[/mm] und [mm]B^\circ[/mm] sind offene
> Mengen (Grund: inverse Bilder offener Mengen bezüglich
> stetigen Abbildungen sind offen). Deren Durchschnitt, die
> Menge [mm]A^\circ\times B^\circ[/mm], ist daher eine offene Menge
> und in [mm]A\times B[/mm] natürlich enthalten: also auch in [mm](A\times B)^\circ[/mm]
> enthalten.
Ja, das geht schon, nur macht es das nicht einfacher zu verstehen. Und der Beweis mit den [mm] $\varepsilon$-Umgebungen [/mm] ist hier noch etwas kuerzer 
> > [...]
>
> Es stimmt auch, denke ich.
Seh' ich auch so.
> > Es fällt mir
> > nur wahnsinnig schwer mir dass irgendwie vorzustellen!
Eine Frage an den OP: Wie stellst du dir ueberhaupt offene Mengen vor?
> > Die Lösung der b) ist doch exakt gleich nur dass man
> > anstelle von offenen Kugeln [mm]B_\varepsilon[/mm] geschlossene
> > Kugeln [mm]\overline{B_\varepsilon}[/mm] betrachtet oder ???
Hoechstwahrscheinlich nicht.
> Da wäre ich nicht so sicher. Aber Du kannst es ja mal im
> Detail hinschreiben und schauen, ob jeder Schritt
> tatsächlich in Ordnung ist. Eine andere Möglichkeit wäre
> stattdessen zu zeigen, dass Punkte, die nicht in
> [mm]\overline{A\times B}[/mm] liegen, für die also eine offene
> [mm]\varespilon[/mm]-Umgebung existiert, die sie von
> [mm]\overline{A\times B}[/mm] trennt, die Eigenschaft haben, dass
> sie auch eine offene Umgebung von [mm]\overline{A}\times \overline{B}[/mm]
> trennt. Und entsprechend für die andere Inklusionsrichtung.
> Das heisst, man kann auch versuchen zu zeigen, dass die
> beiden Mengen dasselbe (offene) Komplemement haben.
Oder man zeigt (bzw. benutzt), dass konvergente Folgen mit Folgengliedern $A [mm] \times [/mm] B$ sowohl in der Produkttopologie [mm] $\IR \times \IR$ [/mm] als auch in der natuerlichen Topologie auf [mm] $\IR^2$ [/mm] den gleichen Grenzwert haben. Genau darauf laeuft es ja hier hinaus.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:38 Di 26.06.2007 | | Autor: | vivo |
vielen dank für eure antworten!
also, vorstellen kann ichs mir jetzt ... und die lösung zu a) ist mir einschließlich warum [mm] \varepsilon [/mm] := [mm] \varepsilon [/mm] / [mm] \wurzel{2} [/mm] gewählt wird klar!
der rand gehört bei offenen Mengen nicht dazu bei abgeschlossenen schon, deshalb ist das Komplement einer abgeschlossen Menge offen!
aber wie zeig ich jetzt für die b) dass [mm] \overline{AxB} [/mm] das selbe Kompliment hat wie [mm] \overline{A} [/mm] x [mm] \overline{B} [/mm] kann ich hier einfach genauso vorgehen wie oben? und durch offene Kreisscheiben zeigen dass (x,y) [mm] \not\in \overline{AxB} [/mm] und (x,y) [mm] \not\in \overline{A} [/mm] x [mm] \overline{B} [/mm] nicht in den jeweiligen Mengen sind und daraus schlussfolgern, dass weil die beiden Komplimente gleich sind auch die beiden Mengen gleich sind??????
was meinst du denn mit Folgenglieder A x B konvergenter Folgen haben in [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR [/mm] denselben GW wie in [mm] \IR^2???????????
[/mm]
vielen Dank
|
|
|
| |
|
> vielen dank für eure antworten!
>
> also, vorstellen kann ichs mir jetzt ... und die lösung zu
> a) ist mir einschließlich warum [mm]\varepsilon[/mm] := [mm]\varepsilon[/mm]
> / [mm]\wurzel{2}[/mm] gewählt wird klar!
>
> der rand gehört bei offenen Mengen nicht dazu bei
> abgeschlossenen schon, deshalb ist das Komplement einer
> abgeschlossen Menge offen!
>
> aber wie zeig ich jetzt für die b) dass [mm]\overline{AxB}[/mm] das
> selbe Kompliment hat wie [mm]\overline{A}[/mm] x [mm]\overline{B}[/mm] kann
> ich hier einfach genauso vorgehen wie oben? und durch
> offene Kreisscheiben zeigen dass (x,y) [mm]\not\in \overline{AxB}[/mm]
> und (x,y) [mm]\not\in \overline{A}[/mm] x [mm]\overline{B}[/mm] nicht in den
> jeweiligen Mengen sind und daraus schlussfolgern, dass weil
> die beiden Komplimente gleich sind auch die beiden Mengen
> gleich sind??????
>
> was meinst du denn mit Folgenglieder A x B konvergenter
> Folgen haben in [mm]\IR[/mm] x [mm]\IR[/mm] denselben GW wie in
> [mm]\IR^2???????????[/mm]
Beweis der Inklusion [mm]\overline{A\times B}\subseteq \overline{A}\times \overline{B}[/mm]: Sei [mm](x,y)\in \overline{A\times B}[/mm]. Dann gibt es also eine gegen [mm](x,y)[/mm] konvergierende Folge mit Gliedern aus [mm]A\times B[/mm]. Da die Projektionen auf die Koordinatenräume stetig sind, sind auch die Projektionen dieser gegen [mm](x,y)[/mm] konvergenten Folgen gegen [mm]x[/mm] bzw. [mm]y[/mm] konvergente Folgen mit Gliedern aus [mm]A[/mm] bzw. [mm]B[/mm]. Also ist [mm]x\in \overline{A}[/mm] und [mm]y\in \overline{B}[/mm]. Das heisst, insgesamt ist [mm](x,y)\in \overline{A}\times \overline{B}[/mm].
Beweis der Inklusion [mm]\overline{A\times B}\supseteq \overline{A}\times \overline{B}[/mm]: Sei [mm](x,y)\in \overline{A}\times\overline{B}[/mm], das heisst [mm]x\in \overline{A}[/mm] und [mm]y\in\overline{B}[/mm]. Es gibt also Folgen [mm](x_n)_{n\in \IN}[/mm] aus [mm]A[/mm] und [mm](y_n)_{n\in\IN}[/mm] aus [mm]B[/mm] die gegen [mm]x[/mm] bzw. [mm]y[/mm] konvergieren. Nun möchten wir schliessen, dass daher die Folge [mm](x_n,y_n)_{n\in\IN}[/mm] von Elementen von [mm]A\times B[/mm] in [mm]\IR^2[/mm] gegen [mm](x,y)[/mm] konvergiert und somit [mm](x,y)\in \overline{A\times B}[/mm] sein muss, was zu beweisen war.
Aber dürfen wir so schliessen? - Aber ja doch, aber gewiss doch: eine Folge im [mm]\IR^2[/mm] konvergiert genau dann, wenn ihre Projektionen auf die Koordinatenräume konvergieren. Wer's nicht glaubt, muss sich halt die folgenden beiden Beziehungen nochmals genauer anschauen:
[mm]|x_n-x|\leq \sqrt{(x_n-x)^2+(y_n-y)^2}\leq |x_n-x|+|y_n-y|[/mm]
[mm]|y_n-y|\leq \sqrt{(x_n-x)^2+(y_n-y)^2}\leq |x_n-x|+|y_n-y|[/mm].
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 Di 26.06.2007 | | Autor: | vivo |
nochmals vielen dank! der beweis ist mir klar!
wenn ihr mir jetzt noch sagen könntet warum mann die b) nicht exakt genauso nur mit abgeschlossenen Kreisscheiben zeigen kann wie die a) ?????
hab da ganz schön lang drüber nachgedacht und kann eigentlich keinen fehler sehen ...
wenn ich abgeschlossene Kreisscheiben verwende dann sind halt die Ränder immer dabei aber an welche Stelle funktioniert denn der Beweis aus der a) dann nicht????????
wäre echt super wenn ihr mich da auf meinen denkfehler stoßen könntet
|
|
|
| |
|
> nochmals vielen dank! der beweis ist mir klar!
>
> wenn ihr mir jetzt noch sagen könntet warum mann die b)
> nicht exakt genauso nur mit abgeschlossenen Kreisscheiben
> zeigen kann wie die a) ?????
>
> hab da ganz schön lang drüber nachgedacht und kann
> eigentlich keinen fehler sehen ...
Ich kann auch keinen Fehler sehen, weil Du das, was Du da so gedacht hast, nicht als möglichst klar formuliertes Argument aka. "Beweis" vorlegst.
> wenn ich abgeschlossene Kreisscheiben verwende dann sind
> halt die Ränder immer dabei aber an welche Stelle
> funktioniert denn der Beweis aus der a) dann nicht????????
Betrachten wir etwa den Beweis der Inklusion [mm]\overline{A\times B} \subseteq \overline{A}\times\overline{B}[/mm]. Wenn ich Dich richtig verstehe, möchtest Du daraus, dass [mm](x,y)\in \overline{A\times B}[/mm] ist, auf die Existenz einer abgeschlossenen [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebung [mm]\overline{B}_{\varepsilon}((x,y))\subseteq \overline{A\times B}[/mm] schliessen. Dieser Schluss ist nicht direkt zulässig. Er war zulässig beim Beweis von [mm](A\times B)^\circ \subseteq A^\circ \times B^\circ[/mm], weil der offene Kern einer Menge entsprechend definiert war. Aber wie willst Du direkt aus der blossen Abgeschlossenheit von [mm]\overline{A\times B}[/mm] auf die Existenz von [mm]\overline{B}_{\varepsilon}((x,y))[/mm] mit [mm]\overline{B}_{\varepsilon}((x,y))\subseteq \overline{A\times B}[/mm] schliessen?
Betrachte etwa folgendes Beispiel: [mm]A := \{0\}, B := \IQ[/mm]. Zwar ist [mm](0,\pi)\in \overline{A\times B}[/mm], aber es gibt keine abgeschlossene [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebung [mm]\overline{B}_{\varepsilon}((0,\pi))\subseteq \overline{A\times B}[/mm] mit [mm]\varepsilon > 0[/mm].
Des weiteren hast Du beim Beweis von a) verwendet, dass daraus, dass jede Projektion eines Punktes [mm](x,y)\in (A\times B)^\circ[/mm] auf einen der Koordinatenräume eine offene Umgebung [mm]B_{\varepsilon}(x)\subseteq A[/mm] bzw. [mm]B_{\varepsilon}(y)\subseteq B[/mm] besitzt, darauf geschlossen werden kann, dass demach die Projektion von [mm](A\times B)^\circ[/mm] in [mm]A^\circ[/mm] bzw. [mm]B^\circ[/mm] enthalten ist. Es gibt aber keine genaue Entsprechung dieser Schlussweise für abgeschlossene Mengen: Es ist nicht so, dass eine Menge genau dann abgeschlossen ist, wenn sie zu jedem ihrer Punkte eine abgeschlossene [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebung enthält (siehe obiges Gegenbeispiel).
> wäre echt super wenn ihr mich da auf meinen denkfehler
> stoßen könntet
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:30 Di 26.06.2007 | | Autor: | vivo |
ahhhhhhhhh ok der ahhhhh effekt ist da, vielen dank!
...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:20 Sa 30.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
