A(B+C) = AB+AC, Distributivges < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:30 So 31.10.2010 | | Autor: | libelle7 |
| Aufgabe | Gegeben sind drei n x n - Matrizen (A,B,C).
Beweise das Distributivgesetz: A(B+C) = AB + AC |
Hallo.
Meine Frage steckt im Grunde schon in der Aufgabenstellung. Ich hab noch nie so eine Aufgabe in der Art (Uniniveau) gelöst und hab dementsprechend Startschwierigkeiten beim ausformulieren
Mein erster Versuch war natürlich das ganze erst einmal mit 3 x 3 Matrizen zu versuchen und das ganze einfach auf eine n x n zu übertragen --> viel Geschreibe und doch keine (eindeutige) Lösung
Zeiter Gedankengang: das ganze irgenwie mit einer allgemeinen Matrizenmultiplikation (und Addition).
(also beliebige Zeile a_i1, a_i2, ..., a_ii, ..., a_in ; und beliebiger Spalte a_1i, a2i, .... a_ii, ..., a_ni)
Jedoch weiß ich dabei überhaupt nicht wie ich rangehen soll :/
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(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt)
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Hallo libelle7 und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Gegeben sind drei n x n - Matrizen (A,B,C).
> Beweise das Distriputivgesetz:
Oh bitte, das heißt Distributivgesetz!!
> A(B+C) = AB + AC
> Hallo.
> Meine Frage steckt im Grunde schon in der
> Aufgabenstellung. Ich hab noch nie so eine Aufgabe in der
> Art (Uniniveau) gelöst und hab dementsprechend
> Startschwierigkeiten beim ausformulieren
>
> Mein erster Versuch war natürlich das ganze erst einmal
> mit 3 x 3 Matrizen zu versuchen und das ganze einfach auf
> eine n x n zu übertragen --> viel Geschreibe und doch
> keine (eindeutige) Lösung
>
> Zeiter Gedankengang: das ganze irgenwie mit einer
> allgemeinen Matrizenmulitplikation (und Addition).
> (also beliebiege Zeile a_i1, a_i2, ..., a_ii, ..., a_in ;
> und beliebiger Spalte a_1i, a2i, .... a_ii, ..., a_ni)
> Jedoch weiß ich dabei überhaupt nicht wie ich rangehen
> soll :/
Nun, zwei Matrizen sind gleich, wenn sie in jedem Eintrag übereinstimmen.
Zeige also, dass ein beliebiger Eintrag linkerhand dieselbe Form hat wie der analoge Eintrag rechterhand.
Rechne beide Seiten separat aus:
Nimm dir passende Matrizen her, so dass die Addition und die Multiplikation auch definiert sind.
Nimm dir etwa eine [mm]m\times n[/mm]-Matrix [mm]A=(a_{jk})_{1\le j\le m, 1\le k\le n}[/mm] und zwei [mm]n\times q[/mm]-Matrizen [mm]B=(b_{jk})_{1\le j\le n, 1\le k\le q}, C=(c_{jk})_{1\le j\le n, 1\le k\le q}[/mm] her.
Dann ist [mm]B+C=(b_jk+c_jk)_{1\le j\le n, 1\le k\le q}[/mm]
Dann schaue dir einen bel. Eintrag des Produktes [mm]D:=A(B+C)[/mm] an:
Das ist eine [mm]m\times q[/mm]-Matrix [mm](d_{jk})_{1\le j\le m, 1\le k\le q}[/mm]
Wie sieht nach der Def. der Matrixmultiplikation ein Eintrag [mm]d_{jk}[/mm] aus?
[mm]d_{jk}=\sum\ldots[/mm]
Dann schaue dir die rechte Seite an (mit den obigen Bezeichnungen)
Nenne [mm]AB+AC=:E=(e_{jk})[/mm]
Passt das vom Format und wie sieht ein Eintrag [mm]e_{jk}[/mm] aus?
> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt)
Gruß
schachuzipus
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