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| Aufgabe | | Lösen Sie mit Hilfe der Laplacetransformation das Anfangswertproblem Y"-3Ý+2Y=cos2t Y(o)=0 ; Ý(0)=1 |
Wenn ich nun die Laplace operatoren anwende, komme ich zu:
Y(s)(s²-3s+2) = s/(s²+2²) + 1
weiter mit division:
Y(s) = (s/(s²+2²))/(s²-3s+2) + 1/(s²-3s+2)
Sind die Nullestellen mit 2j;2;1 Richtig? Und wie gehts jetzt weiter?
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo likenobody,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Lösen Sie mit Hilfe der Laplacetransformation das
> Anfangswertproblem Y"-3Ý+2Y=cos2t Y(o)=0 ; Ý(0)=1
> Wenn ich nun die Laplace operatoren anwende, komme ich
> zu:
>
> Y(s)(s²-3s+2) = s/(s²+2²) + 1
>
> weiter mit division:
>
> Y(s) = (s/(s²+2²))/(s²-3s+2) + 1/(s²-3s+2)
>
> Sind die Nullestellen mit 2j;2;1 Richtig? Und wie gehts
Hier fehlt eine Nullstelle: -2j
> jetzt weiter?
Das Nennerpolynom hat hier komplexe Nullstellen.
Jetzt machst Du eine Partialbruchzerlegung von
[mm](s/(s²+2²))/(s²-3s+2) + 1/(s²-3s+2)[/mm]
Besser:
[mm]\bruch{s}{\left(s^{2}+4\right)*\left(s^{2}-3*s+2\right)}+\bruch{1}{s^{2}-3*s+2}[/mm]
>
> # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Ist die PBZ, so Richtig?
[mm] \bruch{s}{\left(s^{2}+4\right)\cdot{}\left(s^{2}-3\cdot{}s+2\right)}+\bruch{1}{s^{2}-3\cdot{}s+2} [/mm] = [mm] \bruch{A}{(s-2)}+\bruch{B}{(s-1)}+ \bruch{Cs+D}{{(s^{2}}+{2^{2}})}+ \bruch{E}{(s-2)}+ \bruch{F}{(s-1)}
[/mm]
Also ich komme genau an dieser Stelle nicht weiter....
Danke schonmal für die Antwort!
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Hallo likenobody,
> Ist die PBZ, so Richtig?
>
> [mm]\bruch{s}{\left(s^{2}+4\right)\cdot{}\left(s^{2}-3\cdot{}s+2\right)}+\bruch{1}{s^{2}-3\cdot{}s+2}[/mm]
> = [mm]\bruch{A}{(s-2)}+\bruch{B}{(s-1)}+ \bruch{Cs+D}{{(s^{2}}+{2^{2}})}+ \bruch{E}{(s-2)}+ \bruch{F}{(s-1)}[/mm]
Wenn Du die PBZ getrennt machst:
[mm]\bruch{s}{\left(s^{2}+4\right)\cdot{}\left(s^{2}-3\cdot{}s+2\right)}=\bruch{A}{(s-2)}+\bruch{B}{(s-1)}+ \bruch{Cs+D}{{(s^{2}}+{2^{2}})}[/mm]
[mm]\bruch{1}{s^{2}-3\cdot{}s+2}= \bruch{E}{(s-2)}+ \bruch{F}{(s-1)}[/mm]
Dann ist diese auch richtig.
>
> Also ich komme genau an dieser Stelle nicht weiter....
Multipliziere jeweils mit dem Hauptnenner durch
und vergleich die Zähler links und rechts miteinander.
>
> Danke schonmal für die Antwort!
Gruss
MathePower
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Multipliziert mit dem HN ergibt sich:
I.
[mm] s=A*({s^2}+{2^2})*(s-2) [/mm] + [mm] B*({s^2}+{2^2})*(s-1) [/mm] + (C*s+D)* (s-1)*(s-2)
mit s=1 => A= -1/5
mit s=2 => B= 1/4
mit s=0 => D= -3/10
mit s=-2=> C= 3/10
II.
1=E*(s-2)+ F(s-1)
mit s=1 => E= -1
mit s=2 => F= 1
wenn ich jetzt allerdings einsetzte und {Laplace^-1} mach, die Anfangswerte einsetze komme ich auf y(0)=-1/4 was ja definitiv nicht dem AWP entspricht! Wo liegt mein Fehler?
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Hallo likenobody,
> Multipliziert mit dem HN ergibt sich:
>
> I.
> [mm]s=A*({s^2}+{2^2})*(s-2)[/mm] + [mm]B*({s^2}+{2^2})*(s-1)[/mm] + (C*s+D)*
> (s-1)*(s-2)
>
> mit s=1 => A= -1/5
> mit s=2 => B= 1/4
> mit s=0 => D= -3/10
> mit s=-2=> C= 3/10
>
> II.
> 1=E*(s-2)+ F(s-1)
>
> mit s=1 => E= -1
> mit s=2 => F= 1
>
> wenn ich jetzt allerdings einsetzte und {Laplace^-1} mach,
> die Anfangswerte einsetze komme ich auf y(0)=-1/4 was ja
> definitiv nicht dem AWP entspricht! Wo liegt mein Fehler?
Der Fehler liegt in den Koeffizienten der 1. PBZ.
Gruss
MathePower
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hmm,tut mir leid, aber ich komm nicht drauf. Wie muss es richtig heißen?
Danke
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Hallo likenobody,
> hmm,tut mir leid, aber ich komm nicht drauf. Wie muss es
> richtig heißen?
Die Koeffizienten A,B,D in der ersten PBZ sind richtig.
Der Koeffizient C ergibt sich zu [mm]-\bruch{1}{20}[/mm]
>
> Danke
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:23 So 09.01.2011 | | Autor: | likenobody |
Vielen Dank, habe die Aufgabe nun lösen können....
Super Sache des Forum!
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