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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:59 Sa 25.04.2009 | | Autor: | maxi85 |
| Aufgabe | Bestimmen sie die Lösung das Anfangswertproblems:
y'' −y' + 1/4 y = 0
y(0) = 0, y′(0) = 2. |
Hallo erstmal,
eigentlich is mit dem Wissen aus meiner Vorlesung ja sofort klar was zu tun ist, nur leider führt es nicht zum gewünschten ergebniss. Ich rechne einfach mal vor:
Ansatz:
[mm] y=e^{\lambda x}
[/mm]
[mm] y'=\lambda e^{\lambda x}
[/mm]
[mm] y''=\lambda^2 e^{\lambda x}
[/mm]
an der Stelle muss ich ja glaub ich schon das AWP benutzen:
[mm] y(0)=e^{\lambda *0}=0 [/mm] ==> Wiederspruch!!!
[mm] y'(0)=\lambda e^{\lambda *0}=2 [/mm] ==> [mm] \lambda [/mm] = 2
benutz ich das AWP zu früh oder warum gehts hier nicht weiter? [mm] e^x [/mm] kann ja nunmal nich 0 sein?
ich bin dankebar für tips und schelte jeder art.
mfg die maxi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Sa 25.04.2009 | | Autor: | nik03 |
hi,
dein Ansatz ist schon richtig, du musst ihn zunächst in die DGL einsetzen und auf diesem Wege das charakteristische Polynom bestimmen und dessen Nullstellen ermitteln. Für deine DGL sieht das so aus:
[mm] \lambda^2 -\lambda+\frac{1}{4}=0
[/mm]
Die Nullstellen setzt du dann in den allgemeinen Lösungsansatz ein. Da du in diesem Fall eine doppelte Nullstelle erhälst, sieht der Ansatz wie folgt aus:
[mm] y(x)=C_1 [/mm] * [mm] \exp(\lambda_1 [/mm] x)+ [mm] C_2 [/mm] * [mm] x*\exp(\lambda_1 [/mm] x)
Nun musst du nur noch die Konstanten bestimmen. Dafür benötigst du nun die beiden Randbedingungen, die du in deinen Lösungsansatz einsetzt.
Aus der Ersten erhälst du direkt [mm] C_1 [/mm] = 0
Aus der Zweiten erhälst du [mm] C_2 [/mm] = 2
In die Lösung eingesetzt erhälst du:
[mm] y(x)=2*x*\exp(0.5*x)
[/mm]
Gruß
nik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:54 Sa 25.04.2009 | | Autor: | maxi85 |
oh gott, danke.
das war dann wohl zu einfach um es zu sehen...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Sa 25.04.2009 | | Autor: | maxi85 |
*grummel* hab wohl doch noch ne frage dazu.
also ich komme auf:
[mm] \lambda_{1,2}=-1/2 [/mm] über [mm] \lambda^2 e^{\lambda x} [/mm] - [mm] \lambda [/mm] e [mm] ^{\lambda x} [/mm] + 1/4 [mm] e^{\lambda x} [/mm] = 0
==> y(x) = [mm] c_1 e^{-x/2} [/mm] + [mm] c_2 xe^{-x/2} [/mm] = [mm] (c_1 [/mm] + [mm] c_2 [/mm] x) [mm] e^{-x/2}
[/mm]
mit y(0)=0 => [mm] 0=(c_1 [/mm] + [mm] c_2 [/mm] *0) [mm] e^{-0/2} [/mm] = [mm] c_1 [/mm] (das ist klar)
aber ich krieg es nicht hin, dass aus y'(0)=2 folgt [mm] c_2 [/mm] = 2 (zumindest nicht wenn das auch so gemacht wird wie ich es bei [mm] c_1 [/mm] gemacht habe)
kannst du mir das evt. nochmal vorrechnen? oder anders, betrachte ich die ableitung meiner lösung y(x) = [mm] c_1 e^{-x/2} [/mm] + [mm] c_2 xe^{-x/2} [/mm] oder die lösung selbst?
mfg die Maxi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Sa 25.04.2009 | | Autor: | nik03 |
*grummel* hab wohl doch noch ne frage dazu.
also ich komme auf:
$ [mm] \lambda_{1,2}=-1/2 [/mm] $ über $ [mm] \lambda^2 e^{\lambda x} [/mm] $ - $ [mm] \lambda [/mm] $ e $ [mm] ^{\lambda x} [/mm] $ + 1/4 $ [mm] e^{\lambda x} [/mm] $ = 0
>>>>>>>hier würde ich mal das Ergebnis kontrollieren... lambda ist positiv
==> y(x) = $ [mm] c_1 e^{-x/2} [/mm] $ + $ [mm] c_2 xe^{-x/2} [/mm] $ = $ [mm] (c_1 [/mm] $ + $ [mm] c_2 [/mm] $ x) $ [mm] e^{-x/2} [/mm] $
mit y(0)=0 => $ [mm] 0=(c_1 [/mm] $ + $ [mm] c_2 [/mm] $ *0) $ [mm] e^{-0/2} [/mm] $ = $ [mm] c_1 [/mm] $ (das ist klar)
aber ich krieg es nicht hin, dass aus y'(0)=2 folgt $ [mm] c_2 [/mm] $ = 2 (zumindest nicht wenn das auch so gemacht wird wie ich es bei $ [mm] c_1 [/mm] $ gemacht habe)
kannst du mir das evt. nochmal vorrechnen? oder anders, betrachte ich die ableitung meiner lösung y(x) = $ [mm] c_1 e^{-x/2} [/mm] $ + $ [mm] c_2 xe^{-x/2} [/mm] $ oder die lösung selbst?
>>>>Hier musst du die Ableitung deiner Lösung bilden und auf die Zweite Randbedingung anwenden. Da [mm] C_1 [/mm] ja null ist brauchst du dich aber nur noch um den zweiten Teil deiner Lösung zu kümmern:
y(x) = $ [mm] c_2 xe^{x/2} [/mm] $
[mm] y^{'}(x)=$ c_2 e^{x/2} [/mm] $ + $ [mm] \frac{1}{2} c_2 xe^{x/2} [/mm] $
Gruß
nik
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