AKF von Zufallsprozess < Signaltheorie < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:34 Mi 17.12.2008 | | Autor: | cosPhi |
Hallo,
Ich hab gerade einen Hänger bezüglich meines Verständnisses der AKF (Autokorrelationsfunktion).
Die AKF von einem normalen Signal ist sehr simpel: Jedes Sample wird zeitverschoben mit sich selbst verglichen. Resultat: AKF.
Die AKF von einem Gaussschen Zufallsprozess ist auch relativ easy: Da die sampled i.i.d sind entspricht jedes Sample einer Realisierung der ZV --> [mm] \delta[n]
[/mm]
Nun aber zum Problem: Ein Zufallsprozess beschreibt die Menge aller Sinussignale einer bestimmten Frequenz mit zufällig verteilter Phase (gleichverteilt).
Also für jede Realisierung des Zufallsprozesses krieg ich einen schönen Sinus raus - die Phase ist halt zufällig.
Nun soll ich aber die AKF dieses Zufallsprozesses bestimmen. Nur: Wie? Durch den Zufallsprozess habe ich ja jetzt nicht mehr nur *ein* Signal. Sondern eher ein 2D-Array: In eine Richtung geht die Zeit und in die andere die jeweilige Realisierung. Wie bestimme ich hier überhaupt die AKF? Über eine Realisierung? --> Das entspricht aber immer der gleichen AKF.
Über alle Realisierungen zu einem bestimmten Zeitpunkt? --> Hier ist die AKF nämlich auch immer genau gleich, nämlich [mm] \delta[n] [/mm] unter der Annahme dass die Phasen unabhängig gleichverteilt sind.
Also es muss fast irgendwas anderes sein, aber ich komm nicht drauf...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:08 Do 25.12.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo cosPhi,
was Dich bei dieser Aufgabe stört, ist, dass Du nun eine Zufallsvariable in Deinem Signal noch hast, das Rechnen mit einem komplett deterministischen Signal ist man gewöhnt, aber nicht unbedingt, dass in solch einem Signal noch eine Zufallsgröße auftaucht. Nichtsdestotrotz geht das Ganze natürlich, einfach, indem man über die Zufallsgröße mittelt durch eine Erwartungswertbildung. Dies ist genau die Definition einer Autokorrelationsfunktion für einen Zufallsprozess.
Ganz formal steht da nämlich:
$$ [mm] R_{xx}(t_1, t_2) [/mm] = [mm] E\{x(\zeta, t_1) x(\zeta, t_2)\} [/mm] $$
Die Dichteverteilung ist bekannt, also kannst Du den Erwartungswert bestimmen aus der Integration der beiden Signale über die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen.
Ich gebe zu, dass ist etwas mehr Arbeit als die einfache Bestimmung eines Mittelwertes, aber es funktioniert genauso.
Viel Spaß dabei,
Infinit
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