8x8 Gleichung Gauss Seidel < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:34 Mo 12.06.2006 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Frage:
> a) Wieso konvergiert Gauss Seidel nicht?
Es gibt ein hinreichendes Kriterium für die Konvergenz von Gauß-Seidel und zwar: A muss strikt diagonaldominant sein [mm] (max_{i,...,n}(a_{ii})>a_{ij}, [/mm] i, j=1,...,n). Bei deinem Beispiel ist das aber nicht der Fall.
Es gibt auch ein allgemeingültiges hinreichendes (und schärferes) Kriterium, das man per Hand nur sehr schwer nachprüfen kann: [mm] \rho (M^{-1}N)<1 [/mm] (der maximale Eigenwert der Matrix [mm] M^{-1}N [/mm] ist kleiner 1). Ich glaube es ist auch nicht erfüllt.
Das sind allerdings keine notwendigen Kriterien, aber man muss schon schauen, dass sie erfüllt sind, wenn man so ein Verfahren benutzt.
> b) Kann mir jemand weiterhelfen? Anderes Verfahren,
> Zerlegung?
Das Problem, bei dem Beispiel, das du dir gewählt hast ist, dass die Matrix eine sehr schlechte Kondition hat und die iterativen Verfahren, dann ungenaue Werte liefern. Dann bietet sich ein aufwändiges direktes Verfahren zu wählen: Gauß mit Pivotierung, oder QR-Zerlegung.
Gruß,
dormant
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