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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 11:22 So 29.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi.
Wenn wir schon angefangen haben, solche Aufgaben von höchstem Niveau zu diskutieren, dann macht es ja nichts, wenn wir uns mal gemeinsam an weitere IMO-Aufgaben begeben und zusammen versuchen, diese zu lösen.
Hier geht's los:
Man finde alle Paare $(a,b)$ positiver, ganzer Zahlen $a,b$ für die der Bruch
[mm] $\frac{a^2}{2ab^2-b^3+1}$
[/mm]
eine positive, ganze Zahl ist.
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:12 Mo 30.08.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Servus,
wollte nur eben einen Zwischenstand bekannt geben:
Sei $n [mm] \in \IN$ [/mm] das Ergebnis des Ausdrucks, dann habe ich das Problem soweit umformulieren können:
Finde die Zahlenpaare $(b,n)$, für die [mm] $\bruch{b^3-1}{n}$ [/mm] eine ganze Zahl ist.
Finde von diesen dann alle Zahlenpaare $(b,n)$, für die [mm] $b^4 [/mm] - [mm] \bruch{b^3-1}{n}$ [/mm] eine Quadratzahl ist.
Sollte man es brauchen:
Summenformel für Quadrate (positive Argumente $n$): [mm] $n^2 [/mm] = [mm] \summe_{i = 1}^{n}(2*i-1)$
[/mm]
Summenformel für Viererpotenzen: [mm] $n^4 [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{\summe_{i=1}^{n}(2*i-1)}(2*j-1)$
[/mm]
Wenn man die Paare hat, erhält man die zugehörigen $a$ durch einsetzen in [mm] $a_{12} [/mm] = [mm] b^2*n \pm \wurzel{b^4*n^2 - b^3*n + n}$.
[/mm]
Ich hoffe, ich habe das Problem damit vereinfacht und nicht kompliziert ^^;
greetz
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:52 Mo 30.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Grüß dich!
Ich habe bisher nur ganz simple Überlegungen angestellt, wie:
a.) a und b müssen unterschiedliche Parität besitzen
b.) Da [mm] $a^2$ [/mm] ein VIelfaches von [mm] $2ab^2-b^3+1$ [/mm] sein soll, muss
[mm] $a^2=k\cdot(2ab^2-b^3+1)$
[/mm]
[mm] $\gdw a^2-a\cdot 2kb^2-b^3+1$
[/mm]
[mm] $\gdw a_{1/2}=kb^2\pm\sqrt{(kb^2)^2+b^3-1}$
[/mm]
Demzufolge muss [mm] $(kb^2)^2+b^3-1$ [/mm] eine Quadratzahl sein - aber ob das weiterhilft?
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:26 Mo 30.08.2004 | | Autor: | AT-Colt |
> Grüß dich!
Zurück ^^
> Ich habe bisher nur ganz simple Überlegungen angestellt,
> wie:
> a.) a und b müssen unterschiedliche Parität besitzen
> b.) Da [mm]a^2[/mm] ein VIelfaches von [mm]2ab^2-b^3+1[/mm] sein soll, muss
Ja, zu den beiden Ergebnissen bin ich bis jetzt auch gekommen, ein paar Paare, die ich durch systematisches Probieren rausbekommen hab sind $(1,2)$,$(2,1)$,$(4,1)$ und $(7,2)$, leider kann ich da (noch) kein System drin erkennen, mit dem ich auf den richtigen Schluss kommen würde...
> [mm]a^2=k\cdot(2ab^2-b^3+1)[/mm]
> [mm]\gdw a^2-a\cdot 2kb^2+b^3-1[/mm]
> [mm]\gdw a_{1/2}=kb^2\pm\sqrt{(kb^2)^2-b^3+1}[/mm]
Da hast Du das $k$ falsch in die Klammer gezogen und die Vorzeichen waren falsch (ich habs hier schon korrigiert), ich sags nur, dass Du nicht stundenlang damit rumrechnest, bevor Du den Fehler selbst bemerkst ^^
> Demzufolge muss [mm](kb^2)^2-k*b^3+k[/mm] eine Quadratzahl sein - aber
> ob das weiterhilft?
Im Endeffekt frage ich mich das im Moment auch ^^;
greetz
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:39 Mi 01.09.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hm...
trotz vielem Überlegens komme ich nicht wirklich weiter, aber vielleicht kann ich eines der Probleme ein wenig genauer formulieren:
Wir hatten, dass
[mm] $\bruch{b^3-1}{n}$ [/mm] eine ganze Zahl sein muss und darüber hinaus, dass $f(b,n) := [mm] b^4 [/mm] - [mm] \bruch{b^3-1}{n} [/mm] = [mm] (b^2)^2 [/mm] - [mm] \bruch{b^3-1}{n}$ [/mm] eine Quadratzahl sein muss.
[mm] $(b^2)^2$ [/mm] ist offensichtlich selbst eine Quadrtzahl, damit $f(b,n)$ auch eine Quadratzahl wird, muss dann wohl gelten:
[mm] $\bruch{b^3-1}{n} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{k} (2*(b^2-k)-1) [/mm] = [mm] 2*(k+1)*b^2 [/mm] - [mm] \summe_{i=0}^{k} [/mm] (2*i+1) = [mm] 2*(k+1)*b^2 [/mm] - [mm] (k+1)^2$ [/mm] für ein $k [mm] \in \IN_0$
[/mm]
So auf Anhieb sieht das auch nicht viel besser aus, vielleicht hilfts ja einem von euch weiter...
greetz
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:38 Mi 01.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Hanno
da die Aufgaben doch recht anspruchsvoll sind, will ich auch noch ein Paar Ueberlegungen einbrinen, wenn sie vielleicht auch nicht viel zu einer evtl Lösung beitragen.
Ich habe mir mal 2 Sachen dazu übenlegt:
1) Ich habe den Nenner ein wenig umgeformt:
$ [mm] \bruch{a^{2}}{2ab^{2}-b^{3}+1} [/mm] = [mm] \bruch{a^{2}}{1-b(b^{2}-2ab+a^{2}-a^{2})} [/mm] = [mm] \bruch{a^{2}}{1-b((a-b)^{2}-a^{2})} [/mm] = [mm] \bruch{a^{2}}{1+b(a^{2}-(a-b)^{2})} [/mm] $
An der letzten Form erkennt man jetzt, dass [mm] $(a-b)^{2} \le a^{2}$ [/mm] sein muss (der Nenner muss ja positiv sein), also:
$0 < b [mm] \le [/mm] 2a$
Für $b=2a$ haben wir doch bereits einige Paare für die Lösung gefunden: $a$ beliebig $> 0$, $b=2a$. Ob das alle sind, weiss ich (noch) nicht.
2) Einen anderen Ansatz habe ich so gemacht:
[mm] $a^2$ [/mm] muss ja Teiler von [mm] $(2ab^{2}-b^{3}+1)$ [/mm] sein. Dann muss aber auch $a$ Teiler dieses Ausdruckes sein. Dies sollte doch zu, wenn auch vorläufig noch abgeschwächten, Bedingungen für die Lösungspaare führen.
Also:
[mm] $a=k*(2ab^{2}-b^{3}+1)$
[/mm]
Das führt zu
[mm] $a=\bruch{k(b^{3}-1)}{2kb^{2}-1}$
[/mm]
Der Zähler wird dann zu [mm] $a^{2}:=\bruch{k^{2}(b^{3}-1)^{2}}{(2kb^{2}-1)^{2}}$
[/mm]
Der Nenner, falls ich mich nicht verrechnet habe, wird zu:
[mm] $\bruch{b^{3}-1}{2kb^{2}-1}$
[/mm]
Insgesamt wird so der ursprüngliche Ausdruck $f(a,b)$ zusammengekürzt zu:
[mm] $f_{k}(a,b) [/mm] = [mm] \bruch{k^2(b^{3}-1)}{2kb^{2}-1}$
[/mm]
Oder anders:
[mm] $a=\bruch{k(b^{3}-1)}{2kb^{2}-1} \Rightarrow f_{k}(a,b) [/mm] = k*a$
Das interpretiere ich so, dass mit [mm] $a=\bruch{k(b^{3}-1)}{2kb^{2}-1}$ [/mm] der gegebene Ausdruck $=k*a$ wird, also für ganze $k > 0$ den geforderten Bedingungen entspricht.
Jetzt muss nur noch das $a$ ganzzahlig $> 0$ werden!
[mm] $a=\bruch{k(b^{3}-1)}{2kb^{2}-1}$ [/mm] hat bei ungeradem $b$ einen geraden Zähler, aber einen ungraden Nenner. Somit muss $b$ sicher gerade sein, setzen wir also $b=2n$!
Dann erhalten wir:
[mm] $a=\bruch{k(8n^{3}-1)}{8kn^{2}-1}$
[/mm]
Versuchen wir mal eineige $n$ aus:
$n=1 [mm] \Rightarrow a=\bruch{7k}{8k-1}$
[/mm]
$n=2 [mm] \Rightarrow a=\bruch{63k}{32k-1}$
[/mm]
$n=3 [mm] \Rightarrow a=\bruch{215k}{72k-1}$
[/mm]
Hier muss ich bei Gelegenheit mal weitermachen, da mir jetzt die Zeit fehlt. Jedenfalls erkenne ich aber hier schon, dass $k$ ungerade sein muss!
Auch kann das Ergebnis (Ungleichung) des ersten Ansatzes mit einfliessen! Trotzdem werden sicher die Mathe-Cracks meine bisherigen Ueberlegungen begutachten?  
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:29 Do 02.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Paulus.
Ich denke du meinst zu Beginn des Abschnittes (2) den "Vielfachen" und nicht den "Teiler" - ein kleiner Verschreiber nehme ich an.
Dennoch kann ich nicht nachvollziehen, wie du aus der korrekten Annahme, [mm] $a^2$ [/mm] sei ein Vielfaches von [mm] $2ab^2-b^3+1$, [/mm] folgern kannst,
dass $a$ die selbe Eigenschaft haben müsse?
Habe ich einen Blackout oder stimmt da etwas nicht? Wenn ersteres der Fall ist und wirklich nicht ein Produkt meiner Müdigkeit ist, dann
würd' ich mich freuen, wenn du das kurz erläutertest.
Das wäre ja so, als würde ich sagen: 36 ist ein Vielfaches von 18 [mm] $\Rightarrow$ [/mm] 6 ist ein Vielfaches von 18.
Gruß und Dank im Voraus,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:23 Fr 03.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Hanno
> Ich denke du meinst zu Beginn des Abschnittes (2) den
> "Vielfachen" und nicht den "Teiler" - ein kleiner
> Verschreiber nehme ich an.
Nein, das war kein Verschreiber, ich meinte es wirklich so!
> Dennoch kann ich nicht nachvollziehen, wie du aus der
> korrekten Annahme, [mm]a^2[/mm] sei ein Vielfaches von [mm]2ab^2-b^3+1[/mm],
> folgern kannst,
> dass [mm]a[/mm] die selbe Eigenschaft haben müsse?
>
Das war völliger Unsinn!
> Habe ich einen Blackout oder stimmt da etwas nicht? Wenn
> ersteres der Fall ist und wirklich nicht ein Produkt meiner
> Müdigkeit ist, dann
> würd' ich mich freuen, wenn du das kurz erläutertest.
>
Den Blackout hatte wohl ich, nicht du! Das Ganze ist also nichts als Ramsch! Weg damit und vergessen!
> Das wäre ja so, als würde ich sagen: 36 ist ein Vielfaches
> von 18 [mm]\Rightarrow[/mm] 6 ist ein Vielfaches von 18.
>
Da siehst du mal wieder: Nobody is perfect!
Ich werde mich bei Gelegenheit doch nochmal hinsetzen. Diese Aufgabe interessiert mich, jetzt besonders. Nur fehlt mir zur Zeit die Zeit! Hoffentlich hast nicht du zuviel davon verloren! Könnte ja wirklich besser investiert werden, als meinen Unsinn zu lesen!
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:10 Sa 04.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho Stephan und Paul!
Ich habe es auch noch einige Male versucht.
Soll heißen, ich habe die von Paul vorgeschlagenenen Substitutitionen durchgeführt, gerechnet, gerechnet und gerechnet.
Leider kam am Ende nichts Gescheites dabei raus, egal bei welchem Ansatz - mir fallen ja auch nicht so leicht neue Ansätze
ein, daher würd' ich mich auch freuen, wenn du uns noch einen Tip gäbest.
Ich habe es bisher immer über die PQ-Formel versucht: "Dieser Term muss ein Quadrat sein", und dann immer weiter gerechnet.
Leider führt es (zumindestens bei meinen Versuchen) zu nichts.
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:08 Sa 04.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Hanno
ich war heute an einem Schachturnier, und morgen besuche ich mit Lukas die Flugschau in Payerne (Schweiz, bei Bern). Wir fahren am Morgen vor 6:00 Uhr los und kommen abends erst spät zurück. Deshalb musst du dich noch ein wenig gedulden!
Vielleich nur soviel: ich habe vorwiegend mal den Nenner untersucht. Der sollte ja $< [mm] a^2$ [/mm] sein.
$z=f(a,b) = [mm] 1+2ab^{2}-b^{3}$ [/mm] innerhalb der Grenzen, wie aus meinem 1. Ansatz beim missratenen Versuch... Mal ein paar Beispielwerte rechnen für festes $a$, vielleicht auch für festes $b$, um ein Gefühl dafür zu bekommen. Dabei $a$ und $b$ als reelle zahlen auffassen.
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:21 Mo 06.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Stefan
vielen Dank für die Lorbeeren. Beinahe glaubte ich, der Matheraum würde mich als offiziellen Vertreter an die nächste Olympiade schicken! Dass die Lorbeeren völlig unverdient sind, erkennst du dann, wenn ich meinen Lösungsweg präsentiere, und vor allem, wenn du erfährst, dass ich eigentlich nur aus Dummheit und aus Zufall auf die Lösung gestossen bin.
Also währt meine Freude ob des Lobes noch bis heute abend, dann wird es wohl vorbei sein, und ich werde mich kaum mehr der Buh-Rufe erwehren können!
Eigentlich hoffte ich ja, durch meine listige Art, zu einer sauberen, auf der Kongruenzrechnung basierenden Lösung zu kommen (das ist ja Hannos Lieblingsgebiet)! Damit wird nun jetzt ja wohl nichts...
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:32 Mo 06.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Hanno
vielen Dank für deine Geduld, aber manchmal ist die eigene Familie etwas wichtiger als der Matheraum!
Nun zu meiner Lösung, die, wie bereits an anderer Stelle bereits kurz erwähnt, nicht meiner Intelligenz, sondern meiner Dummheit und auch einem Zufall zu verdanken ist.
Warum meiner Dummheit?
Nun, im Gegensatz zu dir kann ich mit der Kongruenzrechnung nicht sehr viel anfangen. Trotz bewiesener Sätze kommen mir immer wieder Zweifel, und ich kann mit der Materie nicht so spielen, wie das eigentlich nötig wäre. Mit einem Wort: ich bin zu dumm dazu!
Und was für ein Zufall?
Ich habe letzthin eine Frage bezüglich Auflösen einer Kubischen Gleichung beantwortet (na ja, einen Link bekanntgegeben). Und in diesem Zusammenhang bin ich auf die Sätze von Vieta gestossen, welche die Beziehungen zwischen den Lösungen einer Quadratischen Gleichung zeigen:
Seien [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] die Lösungen der Gleichung [mm] $x^{2}+px+q=0$, [/mm] dann gilt:
[mm] $x_{1}+x_{2}=-p$ [/mm] und
[mm] $x_{1}*x_{2}=q$
[/mm]
So banal diese Sätze auch klingen und mittels pq-Formel zu verifizieren sind, so haben sie doch die Bedeutung: Wenn man, aus welchem Grunde auch immer, nicht mit der pq-Formel auf die Lösung kommt, sondern durch irgendeine andere Art [mm] $x_1$ [/mm] eruieren konnte, dann berechnet sich [mm] $x_2$ [/mm] mit Hilfe von einer der beiden angegebenen Formeln!
So, genug der Vorrede, nun ein Wenig zu meinem Vorgehen.
Im ersten Ansatz meiner missratenen ersten Antwort habe ich dargelegt, dass der Nenner [mm] $\le$ [/mm] dem Zähler sein muss und somit zur Abschätzung $0 < b [mm] \le [/mm] 2a$ führt.
Die Funktion [mm] $f=\bruch{a^2}{1+2ab^{2}-b^{3}}$ [/mm] ist offensichtlich ganzzahlig, wenn der Nenner $= 1$ ist, wenn also gilt:
[mm] $2ab^{2}-b^{3}=0$
[/mm]
[mm] $b^{2}(2a-b)=0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] b=0$ oder $b=2a$
Wobei natürlich nach Voraussetzung $b=0$ nicht zur Lösungsmenge der gestellten Aufgabe gehört, aber die Kenntnis davon vielleicht doch im Verlaufe der Weiterführung der Aufgabenlösung nützlich sein könnte. $b=2a$ gehört aber zur Lösungsmenge.
Weiterhin banal ist diese Erkenntnis: wenn man $b=1$ setzt, so vereinfacht sich der Nenner [mm] $1+2ab^{2}-b^{3}$ [/mm] geradezu dramatisch: er wird zu $2a$, womit gilt:
[mm] $f=\bruch{a^2}{2a}=\bruch{a}{2}$ [/mm]
Daraus ist auch der Schluss nicht schwierig, dass bei geradem $a$ für $b = 1$ genommen werden kann.
Soweit war alles nicht so schwierig, die Frage, die es zu beantworten gilt, ist nur noch: haben wir alle Lösungen erfasst, oder gibts da sonst noch was?
Ich muss zugeben, das war für mich schon eine kleine Knacknuss, aber ein echter Mathematiker schreckt vor nichts zurück!
Nun habe ich mir überlegt, dass $f$ ja eine Funktion von 2 Variablen ist und mir vorgestellt, die Variablen seien reell (also nicht mehr natürliche Zahlen)
Ich habe also für den Nenner diese Funktion konstruiert:
[mm] $z=1+2xy^{2}-y^{3}$ [/mm] und mich gefragt: wo könnten denn noch zusätzliche $y$ liegen, die bei festgehaltenem $x$ dazu führen, dass der ursprüngliche Bruch ganzzahlig wird?
Dazu muss ja offensichtlich gelten, dass der Nenner [mm] $\le$ [/mm] dem Zähler ist:
[mm] $1+2xy^{2}-y^{3} [/mm] < [mm] x^2$
[/mm]
Zudem müssen die Werte auch innerhalb $0 < y [mm] \le [/mm] 2x$ liegen (Siehe oben)
Es gilt auch: [mm] $\bruch{\delta z}{\delta y} [/mm] = [mm] 4xy-3y^{2}$, [/mm] womit leicht nachzurechnen ist, dass die Funktion bei $y=0$ ein Minimum und bei [mm] $y=\bruch{4}{3}x$ [/mm] ein Maximum annimmt. $z$ beginnt also (immer bei festgehaltenem $x$) bei $y=0$ mit einem Anstieg, und bei [mm] $y=\bruch{4x}{3}$ [/mm] beginnt dann der Sturzflug.
Dass bei $y=2x$ eine Lösung des Problems vorliegt, haben wir ja schon gefunden. Die Frage ist: kann es zwischen dem Kulminationspunkt bei [mm] $y=\bruch{4x}{3}$ [/mm] und $y=2x$ noch eien weiteren Wert geben, der die Aufgabenbedingung erfüllt. Die Berechnung von $z$ an der Stelle $y=2x-1$ liefert aber:
[mm] $z=1+2x(2x-1)^{2}-(2x-1)^{3}=1+(2x-1)^{2}(2x-2x+1)=1+(2x-1)^{2}=4x^{2}-4x+2$ [/mm] und das ist $> [mm] x^2$. [/mm] Somit kommen "hinter dem Berg" keine zusätzlichen Lösungskandidaten mehr vor!
Und wie sieht es vor dem Berg aus?
Da könnte man die genaue Grenze bestimmen durch das Auflösen (nach$y$) der Gleichung [mm] $x^{2}-1-2xy^{2}+y^{3}=0$, [/mm] man kann aber auch einfach mal $y=x$ einsetzen und $z$ berechnen, und prüfen, was dabei herauskommt:
[mm] $z=1+2x*x^{2}-x^3=1+x^{3}$. [/mm] Das ist ersichtlich $> [mm] x^2$.
[/mm]
Es muss also sicher gelten: $y < x$
Wieder mit den Variablenbezeichnungen $a$ und $b$ gilt also
0 < b < a
Als Zwischenergebnis haben wir also bis jetzt (für $b>0$, nach Voraussetzung):
$b=1$ für gerade $a$; oder
(1) $b=2a$ oder
(2) $b<a$
$b<a$ muss noch genauer angegeben werden!
Wieder mit den Variablennamen $a$ und $b$ muss ja (nach Hanno) gelten:
(*) [mm] $a^{2}-2kb^{2}+k(b^3-1)=0$
[/mm]
Das ist (nach Hanno) nicht so einfach nach $a$ aufzulösen, wenn sowohl $k$ als auch $a$ ganzzahlig werden sollen.
Aber jetzt gibt es ja den Vieta, der uns vielleicht ein Wenig weiter bringt!
Das würde also heissen:
(3) [mm] $a_{1}+a_{2}=2kb^{2}$
[/mm]
(4) [mm] $a_{1}*a_{2}=k(b^{3}-1)$
[/mm]
Aus (4) kann man schliessen, dass bei positivem $k$ entweder beide Lösungen [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$ [/mm] das gleich Vorzeichen haben oder, wenn eines davon $0$ ist, dann hat das Andere nach (3) den Wert [mm] $2kb^{2}$.
[/mm]
OBdA darf man annehmen, dass [mm] $a_{1} \le a_{2}$ [/mm] ist, dass also nach (3) gilt:
(5) [mm] $a_2 \ge bk^{2}$
[/mm]
Aus (4) folgt: [mm] $a_1=\bruch{k(b^{3}-1)}{a_2}$, [/mm] und zusammen mit (5) erhält man:
[mm] $a_1=\bruch{k(b^{3}-1)}{a_2} \le \bruch{k(b^{3}-1)}{kb^{2}}=\bruch{(b^{3}-1)}{b^{2}}=b-\bruch{1}{b^{2}}
kurz:
[mm] $a_1 [/mm] < b$
Nach (2) gibt es dafür keine Lösungen, nach (1) muss aber gelten:
[mm] $a_{1}=\bruch{b}{2}$
[/mm]
Setzt man dies in (*) ein, so folgt:
[mm] $\bruch{b^{2}}{4}-kb^{3}+kb^{3}-k=0$
[/mm]
[mm] $k=\bruch{b^{2}}{4}$
[/mm]
Aus (3) folgt somit: [mm] $a_2 [/mm] = [mm] 2kb^{2}-\bruch{b}{2}=2*\bruch{b^{2}}{4}*b^{2}-\bruch{b}{2}=\bruch{b}{2}*(b^{3}-1)$
[/mm]
Somit haben wir alle Lösungen gefunden! ![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]")
Man sieht: auch Dummheit kann zum Ziel führen!
Mit lieben Grüssen
Paul
P.S. Wie immer gilt: bei Fragen einfach fragen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:38 Do 16.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Stefan
vielen Dank für die Lorbeeren.
Aber: du hast ja die offizielle Lösung. Haben die nicht einen Weg mit Kongruenzrechnung, oder ist die unendliche Rechnerei von Hanno wirklich ein Indiz dafür, dass es nicht geht? Hanno scheint sich ja mit der Kongruenzrechnung recht gut auszukennen!
Warum eigentlich Schande über dich? Ich habe ja den Status so gesetzt, dass man gar nicht darauf reagieren muss! Es gibt ja Wichtigeres im Matheraum zu tun!
Mit lieben Grüssen
Paul
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:16 Fr 17.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Paul!
Erst einmal herzlichen Glückwunsch zum fünften Stern!! ![[happybirthday]](/images/smileys/happybirthday.gif "[happybirthday]")
Hier jetzt die von mir übersetzte (und etwas kommentierte) Version der Musterlösung, die von der IMO-Kommission erstellt wurde:
Die Aufgabe lautete:
Bestimme alle Paare $(a,b)$ positiver ganzer Zahlen, so dass
[mm] [center]$\frac{a^2}{2ab^2 - b^3+1}$[/center]
[/mm]
eine positive ganze Zahl ist.
Lösung
Es sei $(a,b)$ ein Paar positiver ganzer Zahlen, das die Bedingung erfüllt. Aus
$k:= [mm] \frac{a^2}{2ab^2 - b^3+1}>0$
[/mm]
folgt:
[mm] [center]$2ab^2 [/mm] - [mm] b^3 [/mm] + 1>0$,[/center]
daraus dann
$a> [mm] \frac{b}{2} -\frac{1}{2b^2}$,
[/mm]
also:
(1) $a [mm] \ge \frac{b}{2}$.
[/mm]
Aus der Bedingung $k [mm] \ge [/mm] 1$ folgt:
[mm] [center]$a^2 \ge b^2(2a-b)+1$,[/center]
[/mm]
also:
[mm] [center]$a^2 [/mm] > [mm] b^2(2a-b) \stackrel{(1)}{\ge} [/mm] 0$.[/center]
Daraus folgt:
(2) $a>b$ oder $2a=b$.
Wir betrachten nun die beiden Lösungen [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$ [/mm] der Gleichung
[mm] [center]$a^2 [/mm] - 2kb^2a + [mm] k(b^3-1)=0$[/center]
[/mm]
für feste positive ganze Zahlen $k$ und $b$, und nehmen an, dass eine von ihnen ganzzahlig ist.
Dann ist die andere wegen
[mm] [center]$a_1 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] = [mm] 2kb^2$ [/mm] (Vieta)[/center]
ebenfalls ganzzahlig. Ohne Einschränkung sei [mm] $a_1 \ge a_2$, [/mm] womit
(3) [mm] $a_1 \ge \frac{a_1+a_2}{2} [/mm] = [mm] kb^2 [/mm] >0$
gilt. Weiterhin haben wir (wieder Vieta):
[mm] [center]$a_1a_2 [/mm] = [mm] k(b^3-1)$ [/mm] (insbesondere: [mm] $a_2 \ge [/mm] 0$),[/center]
und daher:
(4) $0 [mm] \le a_2 [/mm] = [mm] \frac{k(b^3-1)}{a_1} \stackrel{(3)}{\le} \frac{k(b^3-1)}{kb^2} [/mm] < [mm] \frac{k(b^3)}{kb^2} [/mm] = b$.
Zusammen mit (2) folgt (da [mm] $a_2>b$ [/mm] aus (2) wegen (4) nicht gelten kann):
[mm] [center]$a_2=0$ [/mm] oder [mm] $a_2=\frac{b}{2}$ [/mm] (dann muss $b$ gerade sein).[/center]
(i) Im Falle [mm] $a_2=0$ [/mm] folgt: [mm] $b^3-1=0$, [/mm] und daher
$b=1$ und [mm] $a_1 [/mm] = 2k$.
(ii) Um Falle [mm] $a_2 [/mm] = [mm] \frac{b}{2}$ [/mm] folgt durch Lösen des Gleichungssystems
[mm] [center]$a_1 [/mm] + [mm] \frac{b}{2} [/mm] = [mm] 2kb^2$ [/mm] und [mm] $a_1a_2= [/mm] k [mm] (b^3-1)$[/center]
[/mm]
leicht:
[mm] [center]$k=\frac{b^2}{4}$ [/mm] und [mm] $a_1= \frac{b^4}{2} -\frac{b}{2}$.[/center]
[/mm]
Somit sind alle Lösungsmöglichkeiten notwendigerweise gegeben durch:
$(a,b) = (2l,1)$ oder $(l,2l)$ oder [mm] $(8l^4-l,2l)$
[/mm]
für positive ganze Zahlen $l$.
Alle diese Paare lösen offenbar auch tatsächlich das Problem.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:15 Fr 17.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Paul!
> vielen herzlichen Dank für deinen riesigen Einsatz hier im
> Matheraum! Was würden wir nur ohne dich machen? ![[flowers]](/images/smileys/flowers.gif "[flowers]")
Vielen Dank für die Blumen. Hat mich sehr gefreut!! Allerdings bin ich schon austauschbar. Der einzige, der hier unersetzlich ist, ist Marc, da muss man ehrlich sein. Dennoch freut es mich natürlich sehr, dass du meinen Einsatz würdigst. ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
> Ich habe die Musterlösung zwar erst überflogen und dabei
> festgestellt, dass ich doch nicht so weit danebengelegen
> habe, wenn auch die Bedingung [mm]a\ge\bruch{b}{2}[/mm] etwas mühsam
> zustande gekommen ist. Das stärkt mein Selbstvertrauen
> schon etwas und motiviert mich, mich auch weiterhin mit
> Mathematik zu beschäftigen. Dann ist man also doch auch in
> meinem Alter noch imstande, Neues zu lernen!
Ja, davon bin ich auch ganz ernsthaft wirklich beeindruckt. Wenn ich in deinem Alter mathematisch noch so fit bin, dann habe ich ein Lebensziel von mir erreicht. Das war jetzt nicht ironisch gemeint, sondern ganz ehrlich.
> P.S. du hast ja irgendwo mal geschrieben, dass der
> mathematische Zenit so um die 20 - 25 Jahre erreicht sei.
> Ha! was muss ich dann in jungen Jahren für ein Genie
> gewesen sein!
Das frage ich mich manchmal tatsächlich... Du warst schon sehr gut im Studium, oder?
Liebe Grüße
Stefan
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![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]"){kind=small}
![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]"){kind=small}
![[respekt]](/images/smileys/respekt.gif "[respekt]"){kind=small}
, ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]"){kind=small}
) jetzt erst dazu gekommen mir deinen Lösungsweg genauer anzuschauen.
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]"){kind=small}
, ganz große Klasse!
