41. Ableitung? < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 So 17.07.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | | Bilden Sie die 41. Ableitung von [mm] f(x)=sin^2(x) [/mm] |
Hm.
Ich könnte natürlich hier 41 mal ableiten. Das erste mal abgeleitet ergibt das hier: f'(x) = 2 [mm] \cdot [/mm] sin(x) cos(x)
Das hier aber nun weitere 40 mal ableiten erscheint mir schwachsinnig, insbesondere deswegen weil ich weiß, dass sich die Ableitungen von sin und cos zyklisch wiederholen. Gibt's da was einfacheres?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 So 17.07.2011 | | Autor: | wauwau |
stimmt, oder anders gesagt, die erste Ableitung ist sin(2x)
und daraus brauchst du nur das richtige vorzeichen, und die richtige vorgestellte zweier-potenz berechnen
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> Bilden Sie die 41. Ableitung von [mm]f(x)=sin^2(x)[/mm]
> Hm.
>
> Ich könnte natürlich hier 41 mal ableiten. Das erste mal
> abgeleitet ergibt das hier: f'(x) = 2 [mm]\cdot[/mm] sin(x) cos(x)
>
> Das hier aber nun weitere 40 mal ableiten erscheint mir
> schwachsinnig, insbesondere deswegen weil ich weiß, dass
> sich die Ableitungen von sin und cos zyklisch wiederholen.
> Gibt's da was einfacheres?
Genau deswegen, weil du weißt, dass das auf irgendeine
Weise "periodisch" laufen muss, solltest du dir aber nicht
zu schade sein, wenigstens noch so zwei- oder dreimal
abzuleiten, um diese Regelmäßigkeit festzumachen.
Die übrigen 37 Ableitungen kannst du dir dann ersparen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 So 17.07.2011 | | Autor: | DM08 |
Guten Abend,
ich habe die Aufgabe auch probiert zu lösen und wollte fragen, ob ich alles richtig gemacht habe.
Mit einer zunächst unbekannten Variable, nennen wir diese [mm] $C_x$, [/mm] erhalten wir sofort für unsere Ableitungen :
1te [mm] Ableitung$*C_x$=5te Ableitung$*C_x$=40te Ableitung$*C_x$\Rightarrow41te Ableitung$*C_x$=2te Ableitung$*C_x$, [/mm] mit [mm] $C_x$\in\IN [/mm] verschieden.
[mm] $C_x$ [/mm] berechnet die Konstante $C$, die bei unseren Ableitungen dazu multipliziert wird. Diese ist verschieden und lässt sich durch [mm] $2^{x-1} \forall\ x\in\IN$ [/mm] darstellen.
Das kann man mit Induktion zeigen.
[mm] $C_{41}$ [/mm] ist im gesuchten Fall [mm] $2^{40}$ [/mm] und wir erhalten unsere gesuchte 41te Ableitung mit [mm] $2^{40}cos(2x)$.
[/mm]
Wäre dankbar für jede Kontrolle.
MfG
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Hallo DM08,
> ich habe die Aufgabe auch probiert zu lösen und wollte
> fragen, ob ich alles richtig gemacht habe.
>
> Mit einer zunächst unbekannten Variable, nennen wir diese
> [mm]C_x[/mm], erhalten wir sofort für unsere Ableitungen :
> 1te Ableitung[mm]*C_x[/mm]=5te Ableitung[mm]*C_x[/mm]=40te Ableitung[mm]*C_x[/mm][mm] \Rightarrow41te[/mm]
> Ableitung[mm]*C_x[/mm]=2te Ableitung[mm]*C_x[/mm], mit [mm]C_x[/mm][mm] \in\IN[/mm]
> verschieden.
Das ist eigenartig formuliert. Es macht nur einigermaßen Sinn, wenn Du von vornherein davon ausgehst, dass die Funktion als [mm] \sin{(C_x)} [/mm] dargestellt werden kann. Das ist ja erst ab der ersten Ableitung der Fall, aber ab da immer.
> [mm]C_x[/mm] berechnet die Konstante [mm]C[/mm], die bei unseren Ableitungen
> dazu multipliziert wird. Diese ist verschieden und lässt
> sich durch [mm]2^{x-1} \forall\ x\in\IN[/mm] darstellen.
> Das kann man mit Induktion zeigen.
Mich stört das x im Index. Es wäre verständlicher, wenn da ein n stünde. Außerdem gehst Du nun davon aus, dass insgesamt letztlich [mm] \sin{(2x)} [/mm] oft abgeleitet wird.
> [mm]C_{41}[/mm] ist im gesuchten Fall [mm]2^{40}[/mm] und wir erhalten unsere
> gesuchte 41te Ableitung mit [mm]2^{40}cos(2x)[/mm].
Das hast Du nicht gezeigt, aber die Idee ist richtig.
> Wäre dankbar für jede Kontrolle.
>
> MfG
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:03 So 17.07.2011 | | Autor: | DM08 |
Danke Dir reverend. Gruß
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