3eck,gesucht:Höhe:Winkelgesetz < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Mo 27.03.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Es sind drei Punkte eines Dreiecks gegeben.
A(0|0|0)
B(3|0|6)
C(1|6|2)
Nun grenzt die Aufgabe ein, dass die Höhe senkrecht auf der Geraden AB sein soll und man diese mit den Winkelgesetzen (sin, cos, tan) ausrechnen soll.
Mein Ansatz in diesem Dreieck ist nun folgender, ich möchte den Winkel [mm] \alpha [/mm] im Dreieck berechnen. Dieser Winkel ist genau der, den die Vektoren [mm] \overline{AB} [/mm] und [mm] \overline{BC} [/mm] bilden.
[mm] \overline{AB} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 6}
[/mm]
[mm] \overline{BC} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 6 \\ -4}
[/mm]
Aus einer selbstgefertigten Skizze ergibt sich
cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{A}{H} [/mm] = [mm] \bruch{|\overline{AB}|}{|\overline{BC}|} [/mm] = [mm] \bruch{ \wurzel{9+36}}{\wurzel{4+36+16}} [/mm]
daraus ergibt sich, dass alpha 26,32° beträgt
Laut meiner Zeichnung müsste dieser Winkel allerdings ungefähr 50° betragen, naja, evtl ist der Maßstab etwas schlecht gewählt.
Dann habe ich endlich den begehrten Winkel alpha, wodurch sich die Höhe berechnen lässt
sin [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{G}{H} [/mm] = [mm] \bruch{gesucht_{Hoehe}}{|\overline{BC}|} [/mm]
[mm] gesucht_{Hoehe} [/mm] = sin [mm] \alpha *|\overline{BC}|
[/mm]
= sin 26,32° [mm] *\wurzel{4+36+16} [/mm] = 3,32
So, wenn ich nun allerdings einfach nur mal Abstand Punkt (C) zur Geraden AB rechne, ergibt sich eine Höhe von 6. Irgendetwas ist in dieser Rechnung leider nicht richtig,
evtl. hilft mir jemand und hat das bessere Auge?
Danke!
Grüße Phoney
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 Mo 27.03.2006 | | Autor: | riwe |
hallo phoney.
h = 6 ist richtig.
aber:
der winkel [mm] \alpha [/mm] berechnet sich aus den vektoren [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] mit hilfe des SKALARproduktes so: [mm] cos\alpha=\frac{ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{\mid \overrightarrow{AB}\mid\mid \overrightarrow{AC}\mid} \Rightarrow \alpha=69.56° [/mm] und dann noch einmal [mm] h_c=\overrightarrow{AC}\cdot sin \alpha [/mm].
nächstes mal eine bessere skizze zeichnen.
werner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Mo 27.03.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Die Antwort, für die ich natürlich sehr dankbar bin, ist zwar gut und schön, aber leider hat diese Antwort das Problem mit meiner Antwort nicht gelöst. Das klingt jetzt vielleicht undankbar, soll es aber nicht, vielen dank vorab, dass du, Werner, deine Zeit dafür aufgebracht hast.
> SKALARproduktes so: [mm]cos\alpha=\frac{ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{\mid \overrightarrow{AB}\mid\mid \overrightarrow{AC}\mid} \Rightarrow \alpha=69.56°[/mm]
> und dann noch einmal [mm]h_c=\overrightarrow{AC}\cdot sin \alpha [/mm].
>
> nächstes mal eine bessere skizze zeichnen.
In diesem Fall hast du einen anderen Winkel berechnet, als ich ihn haben wollte. Ich betrachtete ja den Winkel zwischen dem Vektor BC und AB.
Aber nun zu meiner Frage:
$ [mm] \overline{AB} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 6} [/mm] $
$ [mm] \overline{BC} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{-2 \\ 6 \\ -4} [/mm] $
cos $ [mm] \alpha [/mm] $ = $ [mm] \bruch{A}{H} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{|\overline{AB}|}{|\overline{BC}|} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{ \wurzel{9+36}}{\wurzel{4+36+16}} [/mm] $
daraus ergibt sich, dass alpha 26,32° beträgt
(schrieb ich ja schon in meiner ersten Frage)
Das muss funktionieren!!!! Ich rechne hiermit ja die Seitenlängen des Dreiecks aus, und ....
moment mal,
das stimmt doch gar nicht?
Da das nicht von Anfang an ein rechtwinkliges Dreieck ist, ich vorher die Höhe einzeichnete, um aus dem Dreieck zwei rechtwinklige Dreiecke zu machen, kann ich die Länge |AB| doch gar nicht benutzen? Weil sie sich eben verkürzt hat?
Ist der Weg mit dem Skalarprodukt, ansgesprochen von Werner, die einzige Möglichkeit? Oder gehts doch auch mit Beträgen?
Vielen Dank
Grüße Phoney
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 Mo 27.03.2006 | | Autor: | riwe |
da hast du natürlich recht, aber üblicherweise bezeichnet man mit [mm] \alpha [/mm] den winkel bei A, was du zu berechnen versuchst, wäre der winkel [mm] \beta, [/mm] bzw. mit deiner notation der außenwinkel dazu , also [mm]180 - \beta [/mm], was richtig gerechnet [mm] 180 - \beta = 126.70°[/mm] und wieder h = 6 ergibt .
um den winkel, den 2 vektoren einschließen, zu berechnen, benutzt man meines wissens immer und ausschließlich das skalarprodukt. dein weg liefert sicher falsche ergebnisse!
werner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:48 Mo 27.03.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
> da hast du natürlich recht, aber üblicherweise bezeichnet
> man mit [mm]\alpha[/mm] den winkel bei A, was du zu berechnen
Achso... Ich nummeriere die Winkel immer so durch, wie ich das will 
ERst alpha, dann beta, dann Gamma. Halt so die Reihenfolge, wie ich das berechnen möchte, aber danke für die Anmerkung.
> versuchst, wäre der winkel [mm]\beta,[/mm] bzw. mit deiner notation
> der außenwinkel dazu , also [mm]180 - \beta [/mm], was richtig
> gerechnet [mm]180 - \beta = 126.70°[/mm] und wieder h = 6 ergibt .
> um den winkel, den 2 vektoren einschließen, zu berechnen,
> benutzt man meines wissens immer und ausschließlich das
> skalarprodukt. dein weg liefert sicher falsche ergebnisse!
Ja, und genau das hatte mich im ersten Moment verunsichert. Aber nun ist ja alles klar
In diesem Sinne: Vielen Dank!
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