3 korrelierte Zahlen erzeugen < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Do 23.07.2009 | | Autor: | Tbasket |
Hallo zusammen,
ich habe eine Frage an Euch und wäre Euch dankbar wenn Ihr mir helfen könntet:
Ich möchte DREI korrelierte Zahlen erzeugen. Geht dies über eine Cholseky Zerlegung. DIe besonderheit hier ist, dass ich nicht zwei sondern drei korrlierte Zhalen haben will. Oder ist wenn ich die Korrelation zwischen Zahl 1 und 2 und die Korrelation zwischen 1 und 3 festlege, die von 2 und 3 schon bestimmt?
C
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:20 Do 23.07.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
sei [mm] $\Sigma$ [/mm] die Varianz-Kovarianz-Matrix der 3 ZV's, dann benötigst du die Matrix C mit folgender Eigenschaft:
[mm] $\Sigma [/mm] = CC^'$ wobei C eine untere Dreiecksmatrix ist.
multiplizierst du einfache diese Matrix C mit dem Vektor der drei ZV's und bekommst deine neuen korrelierten ZV's.
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Do 23.07.2009 | | Autor: | Tbasket |
Vielen Dank. Ich bin leider kein großes Mathe Ass und müsste wissen wie man ganz konkret auf die Zahlen kommt. Kann ich die Korrelation zwischen 1 und 2 und 1 und 3 festlegen und damit ergibt sich die korrelation zwischen 2 und 3?
Ich wäre Euch sehr dankbar wenn ihr mir mit den Gleichungen helfen könntet
Vielen Herzlichen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 Do 23.07.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
bei drei ZV's [mm] (Z_1 Z_2 Z_3) [/mm] sieht dass konkret so aus:
ich nehm einfach mal drei Standartnormalverteilte ZV's
[mm] $\Sigma=\pmat{ 1 & \sigma_{1,2} & \sigma_{1,3} \\ \sigma_{2,1} & 1 & \sigma_{2,3} \\ \sigma_{3,1} & \sigma_{3,2} & 1 }$
[/mm]
da ja alle Varianz 1 haben, [mm] $\sigma_{i,j}$ [/mm] ist die Kovarianz zwischen ZV i und ZV j
jetzt bestimmst du per cholesky zerlegung die unter dreiecksmatrix C für die glit:
[mm] $\Sigma=CC^'$ [/mm] anschließend berechnest du:
[mm] $C\vektor{Z_1 \\ Z_2 \\ Z_3}$
[/mm]
das Ergebnis ist ein Vektor mit drei korrelierten ZV's. Die Korrelation zwischen diesen ZV's hast du dann ja über die Kovarianzen und Varianzen festgelegt.
In diesem Fall sind die Kovarianzen ja gleich den Korrelationskoeffizienten, da die Standartabweichungen ja 1 sind (wegen standartnormalverteilter ZV's).
Im Fall von zwei ZV's (Standartnormalverteilt):
[mm] $\Sigma=\pmat{ 1 & \rho \\ \rho & 1 }$
[/mm]
dann ist [mm] $C=\pmat{ 1 & 0 \\ \rho & \wurzel{1-\rho^2} }$
[/mm]
denn dann ist [mm] $CC'=\Sigma$
[/mm]
und somit erhälst du:
[mm] $C\pmat{ Z_1 \\ Z_2 }= \pmat{ Z_1 \\ Z_1\rho + Z_2\wurzel{1-\rho^2} } [/mm] $
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Fr 24.07.2009 | | Autor: | Tbasket |
Ganz herzlichen dank!
Den Fall für 2 ZV habe ich im Netz gefunden, leider nicht für 3. Ich bin leider kein großer Mathe Ass. Meinst du Du könntest mir die Matrix bzw. Gleichung für den Fall dreier ZV aufschreiben.
Ich wäre Dir überaus dankbar!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Fr 24.07.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
wenn Du mir sagst wie ursprünglichen ZV's verteilt seien sollen, und vorallem welche Kovarianzen zwischen den ZV's bestehen sollen, mach ich dass gerne.
Ich mach einfach mal ein Beispiel:
drei Standartnormalverteilte ZV's mit Varianz-Kovarianz-Matrix [mm] $\Sigma$
[/mm]
bei Standartnormalverteilten entspricht die Kovarianz natürlich dem Korrelationskoeffizient denn es ist ja:
[mm] $\rho [/mm] = [mm] \bruch{Cov(X,Y)}{\wurzel{Var(X)}\wurzel{Var(Y)}} =\bruch{Cov(X,Y)}{1}
[/mm]
dann sag ich mal die Varianz-Kovarianz-Matrix hat von mir aus folgende Gestalt:
[mm] $\Sigma=\pmat{ 1 & 0,8 & 0,5 \\ 0,8 & 1 & 0,9 \\ 0,5 & 0,9 & 1 }$
[/mm]
dann mache ich eine Cholesky-Zerlegung und komme auf
[mm] $C=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0,8 & 0,6 & 0 \\ 0,5 & 0,83333 & 0,23570 }$
[/mm]
es gilt:
[mm] $\Sigma=CC'$
[/mm]
und jetzt bekommen wir den Vektor mit den drei korrelierten Zufallszahlen indem wir
[mm] $\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0,8 & 0,6 & 0 \\ 0,5 & 0,83333 & 0,23570 } \pmat{ X_1 \\ X_2 \\ X_3 }=\pmat{ X_1 \\ 0,8X_1+0,6X_2 \\ 0,5X_1+ 0,83333X_2 +0,23570X_3}=\pmat{ Z_1 \\ Z_2 \\ Z_3 }$
[/mm]
nehmen.
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Fr 24.07.2009 | | Autor: | Tbasket |
Nochmals vielen herzlichen Dank.
Also ich muss drei standardnormalverteilte ZV haben.
Die Frage ist nun - wenn ich mir deine C Matrix anschaue - ob ich die Korrelationen bzw. Kovarianzen 0.8, 0.5 un 0.9 einfach frei wählen kann oder ob ich mit 0.8 und 0.5 schon die dritte definiere?
Ich muss nämlich folgendes implementieren. Ich gebe am anfang die korrelationen an. Also dreimal: Für Korrelation zwischen 1und2, 1und3 und 2 und 3. Dafür bräuchte ich die allgemeine Gleichung.
Oder kann ich gar nicht alle drei frei wählen???
Wäre toll wenn du nochmal helfen könntest!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Fr 24.07.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
ja bei dem frei wählen müssen wir etwas tiefer greifen ... die Varianz-Kovarianz-Matrix [mm] $\Sigma$ [/mm] muss halt positiv definit sein. Zum Beispiel wäre
[mm] $\pmat{ 1 & 0,8 & 0,9 \\ 0,8 & 1 & -0,5 \\ 0,9 & -0,5 & 1}$
[/mm]
ist nicht positiv definit da ein Eigenwert kleiner null ist. Dass heisst eine solche Varianz-Kovarianz-Matrix wäre nicht möglich. Dies ist aber auch intuitiv klar denn wenn [mm] X_1 [/mm] hohe Werte hat dann tendenzielle auch [mm] X_2 [/mm] ebenso bei [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_3 [/mm] ... aber wenn [mm] X_2 [/mm] hohe dann [mm] X_3 [/mm] eher niedrige und andersrum ... dass passt nicht zusammen ... unmöglich.
solange [mm] $\Sigma$ [/mm] positiv definit ist alles ok
ich nehme mal an du willst jetzt C wenn
[mm] $\Sigma=\pmat{ 1 & \rho_{1,2} & \rho_{1,3} \\ \rho_{2,1} & 1 & \rho_{2,3} \\ \rho_{3,1} & \rho_{3,2} & 1 }$
[/mm]
dann musst das halt per hand berechnen ich fang mal an:
[mm] $C=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ ? & ? & 0 \\ ? & ? & ? }$
[/mm]
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Fr 24.07.2009 | | Autor: | Tbasket |
Vielen Dank, bald haben wirs!
Kann ich schonmal so vorgehen.
Ich implementiere es in MAple. Also als ersten schritt würde ich testen ob die MAtrix positiv semidefinit ist. Wenn dies der Fall ist kann ich weitermachen.
Könntest du mir jetzt noch im letzten Schritt helfen. Im Fall zweier ZV kann man ja Z1 und Z2 mit deiner allgemeinen FOrmel immer berechen. Gibt es diese allg. Formel auch für den Fall 3er ZV. bzw kann man die herleiten?
Besten Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Fr 24.07.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
ja klar gibt es hab doch geschrieben:
$ [mm] \Sigma=\pmat{ 1 & \rho_{1,2} & \rho_{1,3} \\ \rho_{2,1} & 1 & \rho_{2,3} \\ \rho_{3,1} & \rho_{3,2} & 1 } [/mm] $
dann berechnest du
$ [mm] C=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ \rho_{1,2} & \wurzel{1-\rho_{1,2}^2} & 0 \\ \rho_{1,3} & \bruch{\rho_{2,3}-\rho_{1,2}\rho_{1,3}}{\wurzel{1-\rho_{1,2}^2}} & \wurzel{1-(\bruch{\rho_{2,3}-\rho_{1,2}\rho_{1,3}}{\wurzel{1-\rho_{1,2}^2}})^2-\rho_{1,3}^2} } [/mm] $
denn jetzt ist
[mm] $\Sigma=CC'$
[/mm]
nun folgt
[mm] $C\vektor{X_1 \\ X_2 \\ X_3} [/mm] = [mm] \vektor{X_1 \\ \rho_{1,2}X_1 + \wurzel{1-\rho_{1,2}^2} X_2 \\ \rho_{1,3}X_1 + \bruch{\rho_{2,3}-\rho_{1,2}\rho_{1,3}}{\wurzel{1-\rho_{1,2}^2}}X_2 + \wurzel{1-(\bruch{\rho_{2,3}-\rho_{1,2}\rho_{1,3}}{\wurzel{1-\rho_{1,2}^2}})^2-\rho_{1,3}^2} X_3}$ [/mm]
das letzte ist der Vektor der als Einträge die drei korrelierten Zufallsvariablen enthält.
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Fr 24.07.2009 | | Autor: | Tbasket |
Ganz toll! Vielen vielen Dank. Ein hoch auf Vivo!
Da ich es gern verwenden würde müsste ich nur nochmals selbst die sache durchrechnen. Wie kommt man denn auf die letzte Matrix?
Vielen vielen Dank nochmals!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Fr 24.07.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
es muss gelten
[mm] $\Sigma=CC'$ [/mm]
wie kommt man allgemein auf C, am besten mit einer Cholesky-Zerlegung
hier steht wie man die einzelnen Element von C berechnent (dort heißen die Matritzen halt A und G)
![[]](/images/popup.gif) Link
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:00 Fr 24.07.2009 | | Autor: | vivo |
Falls du noch begründen musst wieso man so vorgeht:
$Var( C [mm] \vektor{X_1 \\ X_2 \\ X_3} [/mm] ) = CC' Var [mm] (\vektor{X_1 \\ X_2 \\ X_3}) [/mm] = [mm] \Sigma I_n [/mm] = [mm] \Sigma$
[/mm]
somit haben die ZV's die gewünschten Korrelationen.
gruß
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> Hallo zusammen,
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> ich habe eine Frage an Euch und wäre Euch dankbar wenn Ihr
> mir helfen könntet:
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> Ich möchte DREI korrelierte Zahlen erzeugen. Geht dies
> über eine Cholseky Zerlegung. DIe besonderheit hier ist,
> dass ich nicht zwei sondern drei korrlierte Zhalen haben
> will. Oder ist wenn ich die Korrelation zwischen Zahl 1 und
> 2 und die Korrelation zwischen 1 und 3 festlege, die von 2
> und 3 schon bestimmt?
Hallo,
erstens mal ist zu sagen, dass es wohl nicht
sinnvoll ist, von einer "Korrelation zwischen
3 Zahlen" zu sprechen, falls du tatsächlich
nur drei Zahlenwerte hast.
nulltens: der besagte Herr hieß nicht Cholseky,
sondern Cholesky
zweitens: Eine Serie von korrelierten Zahlen-
tripeln bekommst du wohl, wenn du z.B. die
ersten beiden Komponenten x und y nach irgend-
einem Zufallsmodell bestimmst (z.B. Normal-
verteilung oder gewürfelte Zahlenwerte) und
dann den dritten Wert z nach einem einfachen
Rechenrezept aus x und y berechnest, etwa:
$\ z=x+y$
oder $\ z=x-y$
oder $\ z=x*y$
oder $\ [mm] z=x^2+y^2$
[/mm]
$\ [mm] etc.\quad [/mm] etc.$
Es wäre sicher schwierig, Rechenregeln der Art
z=f(x,y) zu finden, bei welchen die resultierenden
Zahlentripel (x,y,z) nicht korreliert wären.
LG Al-Chwarizmi
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