3. Einheitswurzel komplexe Z. < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] \wurzel[3]{-\wurzel{3}+3i} [/mm] und verwenden Sie die Eulersche darstellung |
Ich hab erstmal in Eulerform umgeschrieben:
[mm][mm] \wurzel[3]{\wurzel{12}*e^{i*\bruch{\pi}{3}}}
[/mm]
Kann ich jetzt die Moivre Formel verwenden:
[mm]\wurzel[n]{r}\cdot{}[cos(k\cdot{}\bruch{2\pi}{n})+i\cdot{}sin(k\cdot{}\bruch{2\pi}{n})][/mm]
n: 3
k: 0 bis 2
r: [mm] \wurzel{12}
[/mm]
Dann bekomm ich 3 Lösungen raus die ein gleichschenkliges 3Eck bilden.
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Hallo,
> Berechnen Sie [mm]\wurzel[3]{-\wurzel{3}+3i}[/mm] und verwenden Sie
> die Eulersche darstellung
>
> Ich hab erstmal in Eulerform umgeschrieben:
> [mm][mm]\wurzel[3]{\wurzel{12}*e^{i*\bruch{\pi}{3}}}[/mm]
Das ist nicht ganz richtig, es gilt
[mm] $-\wurzel{3}+3i [/mm] = [mm] \sqrt{12}* e^{i*\frac{2}{3}\pi}$
[/mm]
(beachte das Minus vor [mm] $\sqrt{3}$).
[/mm]
> Kann ich jetzt die Moivre Formel verwenden:
> [mm]\wurzel[n]{r}\cdot{}[cos(k\cdot{}\bruch{2\pi}{n})+i\cdot{}sin(k\cdot{}\bruch{2\pi}{n})][/mm]
Ja, aber die Formel geht anders. Bei dir ist ja der Winkel [mm] $\phi$ [/mm] egal?
Nutze:
[mm] $\sqrt[n]{r\cdot e^{i\phi}} [/mm] = [mm] \sqrt[n]{r}\cdot e^{i\cdot (\frac{\phi}{n} + \frac{2k}{n}\pi)} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{r}\cdot{}\Big[cos(\frac{\phi}{n} [/mm] + [mm] k\cdot{}\bruch{2\pi}{n})+i\cdot{}sin(\frac{\phi}{n} [/mm] + [mm] k\cdot{}\bruch{2\pi}{n})\Big]$.
[/mm]
(k = 0,...,n-1)
Prinzipielles Vorgehen ist aber richtig!
$n = 3$, $k = 0,1,2$, $r = [mm] \sqrt{12}$, $\phi [/mm] = [mm] \frac{2}{3}\pi$.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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