3-te Wurzel < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:54 So 28.11.2010 | | Autor: | StevieG |
| Aufgabe | Aufgabe:
Berechne die dritten Wurzeln von
z = -8i |
So:
z = [mm] \wurzel[3]{-8i}
[/mm]
jetzt weiss ich das zB.
[mm] \wurzel{-8} [/mm] = [mm] \wurzel{8(-1)} [/mm] = [mm] \wurzel{8}\wurzel{-1}= \wurzel{8}i
[/mm]
aber hier habe ich dritte Wurzel. wie funktioniert das?
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Huhu,
erstmal korrigieren wir ein wenig dein "Vorwissen":
> jetzt weiss ich das zB.
> [mm]\wurzel{-8}[/mm] = [mm]\wurzel{8(-1)}[/mm] = [mm]\wurzel{8}\wurzel{-1}= \wurzel{8}i[/mm]
Du hast jetzt eine Lösung der Quadratwurzel gefunden.
Es gibt aber erstens zwei und zweitens ist dein Lösungsweg nur halb korrekt, da die Wurzelgesetze in den komplexen Zahlen nicht mehr gelten. D.h. dein zweites Gleichheitszeichen ist gar keins.....
Wie lautet denn die andere Lösung von [mm] \sqrt{-8} [/mm] ?
Generell fürs Wurzelziehen bietet sich immer die Darstellung der komplexen Zahl in der Form [mm] $re^{i\varphi}$ [/mm] an.
Dann gilt nämlich:
[mm]\sqrt[n]{z} = r\exp\left(i\bruch{\varphi + 2k\pi}{n}\right), k\in\{0,1,\ldots,n-1\}[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 So 28.11.2010 | | Autor: | StevieG |
Danke erstmal.
r = |z| = 8
Der Winkel Phi müsste -90 Grad sein da Re(z) = 0 und Im(z) = -8
Ergebnis ist
[mm] 2e^{ \bruch{i (-90) +2\pi k}{3}}
[/mm]
?
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Huhu,
> Danke erstmal.
>
> r = |z| = 8
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Der Winkel Phi müsste -90 Grad sein da Re(z) = 0 und Im(z)
Oder besser: [mm] $270^\circ [/mm] = [mm] \bruch{3\pi}{2}$
[/mm]
> [mm]2e^{ \bruch{i (-90) +2\pi k}{3}}[/mm]
Ok, hier verwendest du Grad- und Radialeinheit gemischt.
Das geht mal gar nicht.....
Schreibe den Winkel als [mm] \bruch{3\pi}{2} [/mm] und dann setz doch für k mal alle möglichen Werte ein.
Aber sonst stimmt es.
Kannst es zum Schluß ja noch zurück auf die Form a+bi bringen.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 So 28.11.2010 | | Autor: | StevieG |
Wenn ich für das k = 0 bis 2 einsetze (da ja n-1) ist für i von 90 Grad bis 330 Grad. also gibt es mehrere Ergebnisse? hab ich nicht so verstanden was das k da macht.
Die Normalform wäre dann zB. für k = 0
2 ( cos 90 + i sin 90 ) = 2 i ?
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> Wenn ich für das k = 0 bis 2 einsetze (da ja n-1) ist für
> i von 90 Grad bis 330 Grad.
Wieso für i? Und gewöhn dir mal das schreiben in Grad ab, das macht dir nachher nur ärger.
> also gibt es mehrere
> Ergebnisse? hab ich nicht so verstanden was das k da
> macht.
Ja, es gibt 3 Möglichkeiten!
Hatte doch vorhin schon geschrieben: Die n-te Wurzel einer komplexen Zahl hat n Lösungen!
> Die Normalform wäre dann zB. für k = 0
>
> 2 ( cos 90 + i sin 90 ) = 2 i ?
Jop, kannst du als Kontrolle ja auch mal gegenrechnen: [mm] (2i)^3 [/mm] = -8i
MFG,
Gono.
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