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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Di 03.11.2009 | | Autor: | JoHe |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
a) [mm] \vektor{n+1 \\ k+1} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] * [mm] \bruch{n+1}{k+1}
[/mm]
b) [mm] \bruch{(a+b)^{n}}{n!} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{a^{k}}{k!}*\bruch{b^{n-k}}{(n-k!)} [/mm] |
So,
Hallo erstmal. Ich muss bis Donnerstag noch diese beiden Aufgaben von meinem Übungsblatt lösen. Ich hab bei der a auch schon einen Ansatz aber ich glaub nich das er richtig ist. Aber ich poste ihn einfach mal :)
also:
[mm] \vektor{n+1 \\ k+1} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] * [mm] \bruch{n+1}{k+1}
[/mm]
[mm] \vektor{n+1 \\ k+1} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{k!*(n-k)!}*\bruch{n+1}{k+1}
[/mm]
[mm] \vektor{n+1 \\ k+1} [/mm] = [mm] \bruch{n!*(n+1}{k!*(k+1)*(n-k)!}
[/mm]
[mm] \vektor{n+1 \\ k+1} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)!}{(k+1)!*(n-k)!}
[/mm]
Soweit bin ich nun gekommen. Jetzt stört mich aber das unterm Bruchstrich noch (n-k)! steht. Da müsste doch eigentlich auch ((n+1)-(k+1))! stehen damit beide Seiten gleich sind, oder seh ich das falsch. Oder soll ich anfangen die linke Seite umzuformen?
Bei der zweiten Aufgabe fehlt mir leider jeglicher Ansatz bzw jegliche Idee,weil ich wegen dem Summenzeichen so unsicher bin wie ich multiplizieren darf etc.
Wär echt super wenn mir jemand nen paar Denkanstöße geben könnte, damit ich das bis Donnerstag gebacken bekomm. Beiß mir grad die Zähne dran aus
Grüße
Johannes
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Johannes und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Zeigen Sie:
> a) [mm] $\vektor{n+1 \\ k+1}=\vektor{n \\ k}\cdot{}\bruch{n+1}{k+1}$
[/mm]
> b) [mm] $\bruch{(a+b)^{n}}{n!} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{a^{k}}{k!}\cdot{}\bruch{b^{n-k}}{(n-k\red{)}!}$
[/mm]
Da war ne Klammer falsch ...
>
> So,
> Hallo erstmal. Ich muss bis Donnerstag noch diese beiden
> Aufgaben von meinem Übungsblatt lösen. > Bei der zweiten Aufgabe fehlt mir leider jeglicher Ansatz
> bzw jegliche Idee,weil ich wegen dem Summenzeichen so
> unsicher bin wie ich multiplizieren darf etc.
>
> Wär echt super wenn mir jemand nen paar Denkanstöße
> geben könnte, damit ich das bis Donnerstag gebacken
> bekomm. Beiß mir grad die Zähne dran aus
Na, verwende den binomischen Lehrsatz und die Definition des Binomialkoeffizienten:
Es ist [mm] $(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\cdot{}a^k\cdot{}b^{n-k}$
[/mm]
Nun ist [mm] $\vektor{n\\k}=\frac{n!}{k!\cdot{}(n-k)!}$.
[/mm]
Der Rest ist einfaches Kürzen ...
>
>
> Grüße
> Johannes
Gruß
schachuzipus
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Di 03.11.2009 | | Autor: | JoHe |
Hallo.
Ja die Klammer hab ich vergessen :/
Also die beiden Formel hab ich auch schon in meinem Skript gefunden nur weiß ich jetzt nicht genau wie ich die meine Gleichung umstellen muss damit da was gescheites herauskommt :/
Ich hab ja
[mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{a^{k}}{k!}\cdot{}\bruch{b^{n-k}}{(n-k{)}!}
[/mm]
Wie bekomm ich denn das k! unterm Bruchstrich weg, ich kann dort doch nich einfach mit k! multiplizieren oder doch?
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Hallo nochmal,
Na, mit dem oben gesagten ist dann doch
[mm] $\frac{(a+b)^n}{n!}=\frac{1}{n!}\cdot{}(a+b)^n=\frac{1}{n!}\cdot{}\sum\limits_{k=0}^n\frac{n!}{k!\cdot{}(n-k)!}\cdot{}a^k\cdot{}b^{n-k}$
[/mm]
Nun kannst du das [mm] $\frac{1}{n!}$ [/mm] in die Summe reinziehen, gegen das $n!$ im Zähler da kürzen und du hast doch schon die gewünschte Darstellung ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Di 03.11.2009 | | Autor: | JoHe |
Da hab ich noch ne kleine Frage, wenns nichts ausmacht :)
Also du sagst ich zieh das [mm] \bruch{1}{n!} [/mm] vor das [mm] (a+b)^{n}
[/mm]
Aber wenn ich das nun auf die anderen Seite bringen will muss ich doch mit n! multiplizieren. Also wo kommt den auf der rechten seite das [mm] \bruch{1}{n!} [/mm] her? :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:30 Di 03.11.2009 | | Autor: | JoHe |
So ich glaube jetzt hab ichs verstanden, ich schreibs zur Sicherheit nochmal hin :)
[mm] \frac{(a+b)^n}{n!} [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!\cdot{}(n-k)!}\cdot{}a^k\cdot{}b^{n-k}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{n!}*(a+b)^{n} [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!\cdot{}(n-k)!}\cdot{}a^k\cdot{}b^{n-k}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{n!}*(a+b)^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!*(n-k)}*a^{k}*b^{n-k}
[/mm]
[mm] (a+b)^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{n!}{k!*(n-k)!}*a^{k}*b^{n-k}
[/mm]
[mm] (a+b)^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*a^{k}*b^{n-k}
[/mm]
Dürfte doch so stimmen oder nich?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:43 Di 03.11.2009 | | Autor: | abakus |
> So ich glaube jetzt hab ichs verstanden, ich schreibs zur
> Sicherheit nochmal hin :)
>
> [mm]\frac{(a+b)^n}{n!}[/mm] =
> [mm]\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!\cdot{}(n-k)!}\cdot{}a^k\cdot{}b^{n-k}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{n!}*(a+b)^{n}[/mm] =
> [mm]\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!\cdot{}(n-k)!}\cdot{}a^k\cdot{}b^{n-k}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{n!}*(a+b)^{n}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!*(n-k)}*a^{k}*b^{n-k}[/mm]
> [mm](a+b)^{n}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\bruch{n!}{k!*(n-k)!}*a^{k}*b^{n-k}[/mm]
> [mm](a+b)^{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*a^{k}*b^{n-k}[/mm]
>
> Dürfte doch so stimmen oder nich?
Wieder mal ein Beweis, der von der Behauptung ausgeht...
Die einzige "Schwierigkeit" ist ja das "Umschaufeln" von n! aus dem linken Nenner in den rechten Zähler. Fast ein wenig zu einfach, oder?
Ich habe fast die Vermutung, dass der binomische Satz NICHT zur Verfügung steht, sondern bewiesen werden soll???
(Induktiv?)
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:56 Di 03.11.2009 | | Autor: | JoHe |
Also den binomische Satz haben wir in der Vorlesung gehabt und er steht auch im Script. In der Aufgabenstellung steht halt nur "Zeige". Ich hab mich auch schon gefragt was genau damit gemeint ist. Ob jetzt Induktiv oder so wie ich es gemacht habe.
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Hallo nochmal,
> Da hab ich noch ne kleine Frage, wenns nichts ausmacht :)
> Also du sagst ich zieh das [mm]\bruch{1}{n!}[/mm] vor das
> [mm](a+b)^{n}[/mm]
Nein, wo wird das vorgezogen?
Ich habe die linke Seite hergenommen, das ist [mm] $\frac{(a+b)^n}{n!}$
[/mm]
Das kann man auch schreiben als [mm] $\frac{1}{n!}\cdot{}(a+b)^n$
[/mm]
Dann mit dem binomischen Lehrsatz das [mm] $(a+b)^n$ [/mm] als Summe geschrieben und den Faktor [mm] $\frac{1}{n!}$ [/mm] in die Summe reingezogen.
Damit ergibt sich die rechte Seite der zu zeigenden Behauptung
>
> Aber wenn ich das nun auf die anderen Seite bringen will
> muss ich doch mit n! multiplizieren.
Da ist nix mit auf die andere Seite bringen: es ist eine Gleichheit zu zeigen. Da nimmt man sich eine Seite (hier die linke) her und formt solange mit bereits bekannten bzw. bewiesenen Sätzen um, bis man die andere (hier rechte) Seite erhält.
Anders als in deinem ersten Beweis, wo du hättest noch Äquivalenzpfeile machen müssen.
Alternativ hättest du dort auch nur die rechte Seite hernehmen können und umformen, bis die linke Seite dasteht.
Das hast du ja im Prinzip gemacht, es war nur formal nicht ganz so toll aufgeschrieben, wie Abakus ja schon angemerkt hat
> Also wo kommt den auf
> der rechten seite das [mm]\bruch{1}{n!}[/mm] her? :)
Nirgendwo ...
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
> Zeigen Sie:
> a) [mm]\vektor{n+1 \\ k+1}[/mm] = [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] * [mm]\bruch{n+1}{k+1}[/mm]
> So,
> Hallo erstmal. Ich muss bis Donnerstag noch diese beiden
> Aufgaben von meinem Übungsblatt lösen. Ich hab bei der a
> auch schon einen Ansatz aber ich glaub nich das er richtig
> ist. Aber ich poste ihn einfach mal :)
>
> also:
> [mm]\vektor{n+1 \\ k+1}[/mm] = [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] * [mm]\bruch{n+1}{k+1}[/mm]
> [mm]\vektor{n+1 \\ k+1}[/mm] = [mm]\bruch{n!}{k!*(n-k)!}*\bruch{n+1}{k+1}[/mm]
> [mm] $\vektor{n+1 \\ k+1}=\bruch{n!*(n+1\red{)}}{k!\cdot{}(k+1)\cdot{}(n-k)!}$
[/mm]
> [mm]\vektor{n+1 \\ k+1}[/mm] = [mm]\bruch{(n+1)!}{(k+1)!*(n-k)!}[/mm]
Das sieht doch wunderbar aus! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Soweit bin ich nun gekommen. Jetzt stört mich aber das
> unterm Bruchstrich noch (n-k)! steht. Da müsste doch
> eigentlich auch ((n+1)-(k+1))! stehen damit beide Seiten
> gleich sind, oder seh ich das falsch.
Das ist es doch auch: [mm] $\left[(n+1)-(k+1)\right]!=\left[n+1-k-1\right]!=(n-k)!$
[/mm]
> Oder soll ich anfangen die linke Seite umzuformen?
Das kannst du genausogut machen, aber dein Beweis ist vollkommen i.O. und richtig!
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:35 Di 03.11.2009 | | Autor: | JoHe |
Ach stimm ja, daran hab ich gar nicht gedacht. Wunderbar dann hab ich die a) ja sogar komplett alleine gelöst, wahnsinns gefühl :)
Danke schonmal dafür
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:26 Di 03.11.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo nochmal,
>
> > Zeigen Sie:
> > a) [mm]\vektor{n+1 \\ k+1}[/mm] = [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] *
> [mm]\bruch{n+1}{k+1}[/mm]
> > So,
> > Hallo erstmal. Ich muss bis Donnerstag noch diese
> beiden
> > Aufgaben von meinem Übungsblatt lösen. Ich hab bei der a
> > auch schon einen Ansatz aber ich glaub nich das er richtig
> > ist. Aber ich poste ihn einfach mal :)
> >
> > also:
> > [mm]\vektor{n+1 \\ k+1}[/mm] = [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] *
> [mm]\bruch{n+1}{k+1}[/mm]
> > [mm]\vektor{n+1 \\ k+1}[/mm] =
> [mm]\bruch{n!}{k!*(n-k)!}*\bruch{n+1}{k+1}[/mm]
> > [mm]\vektor{n+1 \\ k+1}=\bruch{n!*(n+1\red{)}}{k!\cdot{}(k+1)\cdot{}(n-k)!}[/mm]
>
> > [mm]\vektor{n+1 \\ k+1}[/mm] = [mm]\bruch{(n+1)!}{(k+1)!*(n-k)!}[/mm]
>
> Das sieht doch wunderbar aus!
>
> >
> > Soweit bin ich nun gekommen. Jetzt stört mich aber das
> > unterm Bruchstrich noch (n-k)! steht. Da müsste doch
> > eigentlich auch ((n+1)-(k+1))! stehen damit beide Seiten
> > gleich sind, oder seh ich das falsch.
>
> Das ist es doch auch:
> [mm]\left[(n+1)-(k+1)\right]!=\left[n+1-k-1\right]!=(n-k)![/mm]
>
> > Oder soll ich anfangen die linke Seite umzuformen?
>
> Das kannst du genausogut machen, aber dein Beweis ist
> vollkommen i.O. und richtig!
Na, vollkommen sicher nicht.
Ein Beweis, der von der Behauptung ausgeht, ist das Gegenteil von vollkommen.
Entweder
zieht man von Beginn an alle Teilaussagen als genau-dann-wenn-Kette durch (da ist bei vielen Schülern und Studenten dann der Wunsch der Vater des Gedanken, selbst wenn eine Schritt mal keine äqu. Umformung ist)
oder
man formt einfach nur die rechten Terme so lange um, bis man den linken Term zweifelsfrei erhält.
Gruß Abakus
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> LG
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> schachuzipus
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