2. Frage < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:15 Mo 30.05.2005 | | Autor: | NECO |
Ich habe noch vergessen zu fragen.
Die orddung von eine Endliche Gruppe ist doch die Anzahl diese Gruppe ne?
Was ist denn die Ordnung von eine Element diese Gruppe.
Kann ich eine Bsp. mit Restklassen haben? DANKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Mo 30.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo NECO!
> Ich habe noch vergessen zu fragen.
>
> Die orddung von eine Endliche Gruppe ist doch die Anzahl
> diese Gruppe ne?
...die Anzahl der Elemente dieser Gruppe, ja! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Was ist denn die Ordnung von eine Element diese Gruppe.
Dies ist die Anzahl der Elemente der von diesem Element erzeugten Untergruppe [mm] $\langle [/mm] a [mm] \rangle [/mm] = [mm] \{a^n\, : \, n \in \IZ\}$. [/mm] Ist diese endlich, so ist diese gleich der kleinsten natürlichen Zahl $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $a^n=1$. [/mm] (Dies ist die multiplikative Schreibweise. Additiv müsste man schreiben: ... gleich der kleinsten natürlichen Zahl $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $na=0$.)
> Kann ich eine Bsp. mit Restklassen haben? DANKE
Wir betrachten die Gruppe [mm] $(\IZ_8,+)$.
[/mm]
Dann ist [mm] $Ord(\bar{2})=4$, [/mm] denn [mm] $\langle \bar{2} \rangle [/mm] = [mm] \{\bar{0},\bar{2},\bar{4},\bar{6}\}$ [/mm] und diese Untergruppe besitzt vier Elemente.
Oder so:
$1 [mm] \cdot \bar{2} [/mm] = [mm] \bar{2} \ne \bar{0}$,
[/mm]
$2 [mm] \cdot \bar{2} [/mm] = [mm] \bar{4} \ne \bar{0}$,
[/mm]
$3 [mm] \cdot \bar{2} [/mm] = [mm] \bar{6} \ne \bar{0}$,
[/mm]
$4 [mm] \cdot \bar{2} [/mm] = [mm] \bar{8} [/mm] = [mm] \bar{0}$.
[/mm]
Dies bedeutet: [mm] $Ord(\bar{2})=4$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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