2-param. stoch. Prozess < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:53 Mi 13.12.2023 | | Autor: | black |
| Aufgabe | | "Let [mm]S,T[/mm] be fixed non-negative numbers such that [mm]S < T[/mm]. Let [mm] $(A_{s,t})_{S\leq s \leq t \leq T} [/mm] be a two-parametric stochastic process with values in [mm] \mathbb{R}^d [/mm] . This means, that [mm] $A_{s,t}$ [/mm] is a random variable in [mm] $\mathbb{R}^d$ [/mm] for each [mm](s,t)[/mm] in [mm] $\{ (s,t) \in [S,T]^2 : s < t \}$." [/mm] |
Hallo zusammen,
ich nehme aktuell an einem Stochastik-Seminar an der Uni teil. In dem Paper, welches ich zusammenfassen soll, wird von zwei-parametrischen stochastischen Prozessen gesprochen. In der Aufgabenstellung dieses Beitrags findet ihr den genauen Wortlaut. Bei dem Paper handelt es sich um "A stochastic sewing lemma and applications" von Khoa Lê.
Prinzipiell ist mir klar, dass man einen stochastischen Prozess so definieren kann, aber ich weiß nicht, wie ein solcher Prozess konkret aussehen könnte.
Kennt jemand von euch ein Beispiel für einen solchen Prozess (zum Beispiel für die Dimension $d=1$)?
Vielen Dank für eure Mithilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
> aber ich weiß nicht, wie ein solcher Prozess konkret aussehen könnte.
Nimm irgendeine beliebige Zufallsvariable, die von maximal zwei Parametern abhängt.
All das könnte dein [mm] $A_{s,t}$ [/mm] sein
> Kennt jemand von euch ein Beispiel für einen solchen
> Prozess (zum Beispiel für die Dimension [mm]d=1[/mm])?
Mal konkrete Beispiele von trivial bis komplexer…
i) [mm] $A_{s,t} \equiv [/mm] 1$ ist ein (sehr) triviales Beispiel
ii) Sei [mm] $X\sim \mathcal{N}(0,1)$, [/mm] dann ist [mm] $A_{s,t} [/mm] = s + tX$ ein stochastischer Prozess mit [mm] $A_{s,t} \sim \mathcal{N}(s,t^2)$
[/mm]
iii) Seien [mm] $X_{t}$ [/mm] nichtnegative Zufallvariablen, dann könnte man bspw. [mm] $A_{s,t} [/mm] = [mm] X_t^s [/mm] betrachten.
iv) Sei [mm] $(B_t)_{t \ge 0}$ [/mm] eine Brownsche Bewegung und $T > 0$, dann wäre [mm] $A_{s,t} [/mm] = [mm] B_t [/mm] - [mm] sB_T$ [/mm] ein zwei-parametrischer stochastischer Prozess.
Für $s = [mm] \frac{t}{T}$ [/mm] wäre $A$ sogar eine Brownsche Brücke.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:48 Do 14.12.2023 | | Autor: | black |
Hey Gono, vielen Dank für deine hilfreiche Antwort!
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