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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 Mo 04.04.2016 | | Autor: | b.reis |
| Aufgabe | [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n} [/mm] konvergiert nicht.
Wieso konvergiert dann [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n^n} [/mm] ? |
Hallo
Diese Frage beschäftige mich irgendwie.
Bei dem Versuch mir das zu erklären habe ich an eine alternierende Folge gedacht zb [mm] (-1)^n *\bruch{1}{n}.
[/mm]
hier verstehe ich warum die [mm] \summe_{i=1}^{n} (-1)^n\bruch{1}{n}
[/mm]
da ich immer was abziehe und die Summe damit gegen einen bestimmten Wert konvergiere.
bei [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n^n} [/mm] verstehe ich es nicht, da das für mich das selbe ist wie [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n} [/mm] nur eben "schneller".
Normal betrachtet man bei 1/n, dass man die einzelnen Terme aufaddieren kann, wenn aber eine weiterer Faktor in dem Fall die Potenz im Nenner dazu kommt, dann kann man zwar alles aufaddieren aber es erreicht immer einen bestimmten Wert und nicht unendlich wie 1/n oder ?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:02 Mo 04.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n}[/mm] konvergiert nicht.
Du meinst sicher [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n}[/mm]
> Wieso konvergiert dann [mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n^n}[/mm] ?
> Hallo
>
> Diese Frage beschäftige mich irgendwie.
> Bei dem Versuch mir das zu erklären habe ich an eine
> alternierende Folge gedacht zb [mm](-1)^n *\bruch{1}{n}.[/mm]
>
> hier verstehe ich warum die [mm]\summe_{i=1}^{n} (-1)^n\bruch{1}{n}[/mm]
Auch hier meinst Du sicher
[mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n\bruch{1}{n}[/mm]
>
> da ich immer was abziehe und die Summe damit gegen einen
> bestimmten Wert konvergiere.
Das ist eine wacklige Begründung !!!!!
>
> bei [mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n^n}[/mm] verstehe ich es nicht,
> da das für mich das selbe ist wie
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n}[/mm] nur eben "schneller".
Eben !!!!!
>
> Normal betrachtet man bei 1/n, dass man die einzelnen Terme
> aufaddieren kann, wenn aber eine weiterer Faktor in dem
> Fall die Potenz im Nenner dazu kommt, dann kann man zwar
> alles aufaddieren aber es erreicht immer einen bestimmten
> Wert und nicht unendlich wie 1/n oder ?
Ja, [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^n}[/mm] ist konvergent. Prüfe das mal mit dem Wurzelkriterium
FRED
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>
> Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:27 Mo 04.04.2016 | | Autor: | Chris84 |
Alternativ koennte man, wenn die Konvergenz von [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ [/mm] bekannt ist, auch das Majorantenkriterium anwenden (soweit bekannt).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Mo 04.04.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
Zur Vorstellung:
nimm 2 Stück gleiches Papier, das erst lässt du liegen=1 das zweite zerlegst du in 1/2+1/3+1/4 das geht schon nicht mehr und du brauchst ein drittes Blatt.
das zerlegst du in 1/5+1/6+1/7+1/8+...+1/15 schon wieder ein neues Blatt fällig das geht immer so weiter, immer wieder- du brauchst zwar jedes mal mehr Stücke, kommst aber immer wieder zu einem ganzen Blatt. jetzt mach dasselbe. zerlege in, 1/4, 1/9, 1/16,1/25 jetzt hast du noch nicht das halbe Blatt verbraucht usw wie lange brauchst du bis dein 2 tes Blatt aufgebraucht ist? machs mal mit dem TR.
Gruß leduart
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