1/i³=i? < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:33 Sa 01.05.2010 | | Autor: | lzaman |
| Aufgabe | [mm] i^{2}=-1 [/mm]
[mm] i^{3}=-i
[/mm]
[mm] i^{4}=1
[/mm]
[mm] i^{5}=i [/mm] usw.
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Wieso ist dann aber
[mm] \bruch{1}{i^{3}}=i [/mm] ? wenn [mm] i^{3}=-j [/mm] und [mm] \bruch{1}{-1}=-1 [/mm] ist, so müsste doch [mm] \bruch{1}{i^{3}}=-i [/mm] rauskommen? Wo mache ich den Fehler gedanklich ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:36 Sa 01.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo lzaman!
[mm] $$\bruch{1}{i^3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{-i} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{i} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{i}*\blue{\bruch{i}{i}} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{i}{i^2} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{i}{-1} [/mm] \ = \ +i$$
Bei Deiner Rechnung scheint also irgendwo ein Minuszeichen verloren zu gehen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Sa 01.05.2010 | | Autor: | lzaman |
Entschuldigung, dass ich nochmal nachfrage. Wie kommst du denn auf
[mm] -\bruch{i}{i}\cdot{}\blue{\bruch{i}{i}}=-\bruch{i}{i^2}= -\bruch{i}{-1}=+i [/mm] ?
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Hallo Izaman,
> Entschuldigung, dass ich nochmal nachfrage. Wie kommst du
> denn auf
>
> [mm]-\bruch{i}{i}\cdot{}\blue{\bruch{i}{i}}=-\bruch{i}{i^2}= -\bruch{i}{-1}=+i[/mm]
> ?
Nun, es ist ja [mm] $i^2=-1$ [/mm] und [mm] $i^3=i^2\cdot{}i=(-1)\cdot{}i=-i$
[/mm]
Also [mm] $\frac{1}{i^3}=\frac{1}{-i} [/mm] \ [mm] \left(=-\frac{1}{i}\right)$
[/mm]
Und das hat Loddar mit dem blauen Term erweitert.
Einen komplexen Nenner kannst du reell machen, indem du mit dem komplex Konjugierten des Nenners erweiterst (bedenke: [mm] $z\cdot{}\overline{z}\in\IR$!!)
[/mm]
Genau das hat Loddar gemacht, bedenke, dass $-i=0-i$ ist und damit [mm] $\overline{-i}=+i$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:17 Sa 01.05.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo Izaman,
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> > Entschuldigung, dass ich nochmal nachfrage. Wie kommst du
> > denn auf
> >
> > [mm]-\bruch{i}{i}\cdot{}\blue{\bruch{i}{i}}=-\bruch{i}{i^2}= -\bruch{i}{-1}=+i[/mm]
> > ?
>
> Nun, es ist ja [mm]i^2=-1[/mm] und [mm]i^3=i^2\cdot{}i=(-1)\cdot{}i=-i[/mm]
>
> Also [mm]\frac{1}{i^3}=\frac{1}{-i} \ \left(=-\frac{1}{i}\right)[/mm]
>
> Und das hat Loddar mit dem blauen Term erweitert.
Loddar hatte aber einen Tippfehler.
Statt [mm] -\bruch{i}{i}\cdot{}\blue{\bruch{i}{i}} [/mm] musste es [mm] -\bruch{1}{i}\cdot{}\blue{\bruch{i}{i}} [/mm] heißen.
Gruß Abakus
>
> Einen komplexen Nenner kannst du reell machen, indem du mit
> dem komplex Konjugierten des Nenners erweiterst (bedenke:
> [mm]z\cdot{}\overline{z}\in\IR[/mm]!!)
>
> Genau das hat Loddar gemacht, bedenke, dass [mm]-i=0-i[/mm] ist und
> damit [mm]\overline{-i}=+i[/mm]
>
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:44 Sa 01.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo abakus!
Danke für's Aufpassen, ist nunmehr korrigiert.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:48 Sa 01.05.2010 | | Autor: | lzaman |
also nach komplexen Rechengesetzen:
[mm] z_{1}=1+\green0*i [/mm] und [mm] z_{2}=\green0+i^{3} [/mm] so ist [mm] \bruch{z_{1}}{z_{2}}=\bruch{1+\green0*i}{\green0+i^{3}}=\bruch{ (1+\green0*i)*(\green0-i^{3})}{(\green0+i^{3})*(\green0-i^{3}) } [/mm] es gilt: [mm] i^{3}=-i
[/mm]
dann folgt nach ausklammern:
[mm] \bruch{z_{1}}{z_{2}}=\bruch{i}{\red-i^{2}} [/mm] es gilt [mm] i^{2}=-1
[/mm]
also ist
[mm] \bruch{z_{1}}{z_{2}}=\bruch{i}{\red- (-1)}=\bruch{i}{1}=i
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Sa 01.05.2010 | | Autor: | lzaman |
Sind denn meine Ideen so richtig? Oder liege ich da falsch?
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Hi,
ich würde es mir zwar nicht so kompliziert machen, aber beide alternativen Rechenwege führen zum richtigen Ergebnis, und sind auch schlüssig, insbesondere 1 = [mm] i^4 [/mm] und damit [mm] \bruch{1}{i^3} [/mm] = [mm] \bruch{i^4}{i^3} [/mm] = i sieht sehr elegant aus...
Gruss Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:55 Sa 01.05.2010 | | Autor: | lzaman |
Aha! Ich glaube ich habs. Hier steht: das gleiche wie
[mm] \bruch{i^{4}}{i^{3}} [/mm] mit [mm] i^{4}=1 [/mm] und das ist =i denn es gilt:
[mm] \bruch{n^{m}}{n^{m-1}}=n
[/mm]
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