13 Kugel u. 3 versch. Farben < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:10 Fr 23.10.2009 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | In einer Urne sind 13 Kugeln.
3 rote
6 blaue
4 grüne
Wie gr. ist P, wenn man 2x zieht, dass beide K. die gleiche Farbe haben? |
Nabend,
2 K. aufeinmal ziehen entspricht ohne Zur.legen.
rot = R usw.
P(R): = 3/13
jetzt neue Situation
P(R): = 2/12
Jetzt habe ich diese beiden Brüche malgenommen. Ergenis
P(RR): = 6/156
Für die anderen Farben entsprechend:
P(BB): = 30/156
P(GG): = 12/156
Es ist nicht nach der Wahrscheinl.keit für nur 2 grüne K. gefragt, sondern für ALLE gleichfarbigen Paare.
Das erhöht P enorm, deswegen addiere ich alle P´s
(6+30+12)/156 =4/13=0,3077
und schreibe dafür
P(RR [mm] \cup \[/mm] BB [mm] \cup \[/mm] GG) = P(RR) + P(BB) + P(GG) = 4/13 = 0,3077
Antw.: Die Wahrscheinl.keit 2 gleichfarbige K. zu ziehen beträgt 0,31.
Soweit so gut, aber stimmt das? Dazu habe ich die Wahrscheinl.keit ermittelt, eine rote K. zu ziehen.
P (R):= 2/12 = 0,166
Und komme doch kräftig ins Stutzen.
Wie kann die Wahrscheinl.keit größer sein, 2 gleichfarbige zu ziehen, als eine rote?
Wo liegt der Fehler?
Und noch eine Frage ausnahmsweise in diesem Thread:
P(R): = 3/13
P(R): = 2/12
Das sind die P´s vom Anfang. Hätte ich diese unterscheiden müssen?
Wie ist die korrekte Schreibweise?
Ich bin gespannt. Fahre den PC aber jetzt runter u. schaue morgen wieder.
Für alle Denker u. Helfer vielen DANK u. Gute Nacht
Sabine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:17 Fr 23.10.2009 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Giraffe,
werden die beiden Kugeln MIT oder OHNE Zurücklegen (oder sogar gleichzeitig?) gezogen?
mfG!
Zwerglein
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> In einer Urne sind 13 Kugeln.
> 3 rote
> 6 blaue
> 4 grüne
> Wie gr. ist P, wenn man 2x zieht, dass beide K. die
> gleiche Farbe haben?
> Nabend,
>
> 2 K. aufeinmal ziehen entspricht ohne Zur.legen.
> rot = R usw.
>
> P(R): = 3/13
> jetzt neue Situation
> P(R): = 2/12
> Jetzt habe ich diese beiden Brüche malgenommen. Ergenis
> P(RR): = 6/156
>
> Für die anderen Farben entsprechend:
> P(BB): = 30/156
> P(GG): = 12/156
> Es ist nicht nach der Wahrscheinl.keit für nur 2 grüne K.
> gefragt, sondern für ALLE gleichfarbigen Paare.
> Das erhöht P enorm, deswegen addiere ich alle P´s
> (6+30+12)/156 =4/13=0,3077
> und schreibe dafür
> P(RR [mm]\cup \[/mm] BB [mm]\cup \[/mm] GG) = P(RR) + P(BB) + P(GG) = 4/13 =
> 0,3077
> Antw.: Die Wahrscheinl.keit 2 gleichfarbige K. zu ziehen
> beträgt 0,31.
> Soweit so gut, aber stimmt das?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Ja. So weit alles richtig !
> Dazu habe ich die
> Wahrscheinl.keit ermittelt, eine rote K. zu ziehen.
> P (R):= 2/12 = 0,166
> Und komme doch kräftig ins Stutzen.
> Wie kann die Wahrscheinl.keit größer sein, 2
> gleichfarbige zu ziehen, als eine rote?
> Wo liegt der Fehler?
Darin, dass du hier quasi Äpfel mit Birnen
vergleichst. Die Zahl 4/13 bezieht sich auf
die Betrachtung der Ziehung von 2 Kugeln,
die Wahrscheinlichkeit 2/12=1/6 nur auf
die Ziehung einer Kugel.
> Und noch eine Frage ausnahmsweise in diesem Thread:
> P(R): = 3/13
> P(R): = 2/12
> Das sind die P´s vom Anfang. Hätte ich diese
> unterscheiden müssen?
> Wie ist die korrekte Schreibweise?
Für die Rechnung betrachtet man hier eigentlich
doch die Ziehung einer ersten und dann einer
zweiten Kugel. Für die erste Ziehung könnte
man z.B. schreiben:
$\ [mm] P(R\,)\ [/mm] =\ [mm] \frac{3}{13}$
[/mm]
Der zweite Faktor ist dann eine bedingte W'keit
dafür, dass im zweiten Zug wieder eine rote Kugel
erscheint, falls die erste gezogene Kugel
rot war. Also:
$\ [mm] P(RR\,|\,R\,)\ [/mm] =\ [mm] \frac{2}{12}$
[/mm]
und dann gilt der Multiplikationssatz:
$\ [mm] P(RR\,)\ [/mm] =\ [mm] P(R\,)*P(RR\,|\,R\,)\ [/mm] =\ [mm] \frac{3}{13}*\frac{2}{12}\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{26}$
[/mm]
> Gute Nacht
> Sabine
Ebenfalls!
Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Sa 24.10.2009 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Al-Chw. (schön, mal wieder von einem alten Bekannten zu hören),
über bedingte Wahrscheinl.keit weiß ich nichts. Um deine Antw. zur Gänze zu verstehen habe ich hier im Matheraum nach einer Def. gesucht. Dazu bin ich ins „SchulMatheLexikon“ gegangen u. habe eine Eingabezeile für Suchbegriffe vermisst (ansonsten erscheinen alle Foren-Diskussionen, in denen dieser Begriff mal gefallen ist).
Warum finde ich im „SchulMatheLexikon“ unter W nicht „Wahrsch.-Rechng“ o.ä.?
Dann links den Link „Index aller Artikel“ versucht.
Da finde ich
P(A|B) = [mm] \bruch{ P(A\cap B)}{P(B)} [/mm] und nur noch wie man es spricht. Aber mehr leider nicht.
Deswegen die Frage: Immer wenn es um mehr als eine Ziehung (Wurf oder oder oder) geht kommt dann immer die bedingte Wahrscheinl.keit ins Spiel?
Vielleicht würde ich die Frage nicht stellen, wenn mir die Bedeutung [mm] A\cap [/mm] B klar wäre (hatte bisher nur Aufg. wo vereinigt wurde).
Ich freue mich sehr, dass ich hier kompetente Antw. u. Beratung bekomme. DANKE!
mfg Sabine
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Hallo Giraffe,
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia ist dein Freund
> Hallo Al-Chw. (schön, mal wieder von einem alten Bekannten
> zu hören),
> über bedingte Wahrscheinl.keit weiß ich nichts. Um deine
> Antw. zur Gänze zu verstehen habe ich hier im Matheraum
> nach einer Def. gesucht. Dazu bin ich ins
> „SchulMatheLexikon“ gegangen u. habe eine Eingabezeile
> für Suchbegriffe vermisst (ansonsten erscheinen alle
> Foren-Diskussionen, in denen dieser Begriff mal gefallen
> ist).
> Warum finde ich im „SchulMatheLexikon“ unter W nicht
> „Wahrsch.-Rechng“ o.ä.?
weil sich noch niemand bereit gefunden hätte, dazu einen Beitrag zu schreiben; daher fehlen auch alle weiteren zu diesem oder ähnlichen Themen der Wkts-Rechnung. ![[traurig]](/images/smileys/traurig.gif "[traurig]")
@ Al-Chw: wie wär's mit einer Mathebank-tauglichen Erklärung? Ich füge sie gerne in die MB ein, wenn du keine Lust dazu hast.
> Dann links den Link „Index aller Artikel“ versucht.
> Da finde ich
> P(A|B) = [mm]\bruch{ P(A\cap B)}{P(B)}[/mm] und nur noch wie man es
> spricht. Aber mehr leider nicht.
> Deswegen die Frage: Immer wenn es um mehr als eine Ziehung
> (Wurf oder oder oder) geht kommt dann immer die bedingte
> Wahrscheinl.keit ins Spiel?
> Vielleicht würde ich die Frage nicht stellen, wenn mir
> die Bedeutung [mm]A\cap[/mm] B klar wäre (hatte bisher nur Aufg.
> wo vereinigt wurde).
Der Durchschnitt [mm] \cap [/mm] besagt, dass die beiden Ereignisse A und B zugleich eintreffen sollen:
bspw: A={1,2,4,5} B={1,3,4,6} beim Würfeln mit einem normalen Würfel
$A [mm] \cap B=\{1,4\}$ [/mm] sprich: "A geschnitten B" (kommt aus der Mengenlehre)
> Ich freue mich sehr, dass ich hier kompetente Antw. u.
> Beratung bekomme. DANKE!
> mfg Sabine
>
Gruß informix
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> P(A|B) = [mm]\bruch{ P(A\cap B)}{P(B)}[/mm]
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> Deswegen die Frage: Immer wenn es um mehr als eine Ziehung
> (Wurf oder oder oder) geht kommt dann immer die bedingte
> Wahrscheinl.keit ins Spiel?
Hallo Sabine,
so ist es, insbesondere wenn es um Ziehungen ohne
Zurücklegen handelt, da ja dann das Ergebnis der
folgenden Züge von den Ergebnissen der vorangehen-
den abhängig sein kann.
Kleines Beispiel: Aus einem Sack mit Kugeln, die
mit "A","N","A","N","A","S" beschriftet sind, zieht
man nacheinander vier Kugeln. Mit welcher W'keit
entsteht so das Wort "ANNA" ?
Wir brauchen zuerst ein "A" aus dem noch vollen
Sack:
P("A") [mm] =\frac{3}{6}=\frac{1}{2}
[/mm]
Kommt kein "A" (ebenfalls mit [mm] p=\frac{1}{2}\,),
[/mm]
ist das Spiel aus, weil "ANNA" nicht mehr möglich
ist. Haben wir aber tatsächlich ein "A" erwischt,
ziehen wir die zweite Kugel. Die sollte ein "N"
tragen. Das tut sie, nachdem schon ein "A" weg
ist, mit [mm] P=\frac{2}{5}. [/mm] Bei Ziehung aus dem
noch vollen Sack wäre natürlich [mm] P("N")=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}
[/mm]
gewesen. Deshalb schreibe ich für die W'keit
eines "N" nach einem "A" nicht einfach P("N"),
sondern
P("AN" | "A") [mm] =\frac{2}{5}. [/mm] Dies ist nun
eben eine bedingte Wahrscheinlichkeit. In der
Klammer schreibt man hinter dem vertikalen
Strich das vorausgesetzte (vorangegangene)
Ereignis hin. Nachher geht es für die dritte
Kugel so weiter:
P("ANN" | "AN") [mm] =\frac{1}{4}
[/mm]
und für die vierte:
P("ANNA" | "ANN") [mm] =\frac{2}{3}
[/mm]
Für die eigentlichen (nicht "bedingten")
Wahrscheinlichkeiten erhalten wir dann der
Reihe nach:
P("A") [mm] =\frac{3}{6}
[/mm]
P("AN") = P("A") *P("AN" | "A") [mm] =\frac{3}{6}*\frac{2}{5}
[/mm]
P("ANN") = P("AN")*P("ANN" | "AN") [mm] =\frac{3}{6}*\frac{2}{5}*\frac{1}{4}
[/mm]
P("ANNA") = P("ANN")*P("ANNA" | "ANN") [mm] =\frac{3}{6}*\frac{2}{5}*\frac{1}{4}*\frac{2}{3}
[/mm]
Um noch die Schreibweise mit der Schnittmenge
von Ereignissen ins Spiel zu bringen:
Das kombinierte Ereignis "AN" kommt genau dann
zustande, wenn zuerst ein "A" gezogen wurde und
dann, im zweiten Zug nach diesem "A", ein "N".
Also kann man schreiben:
"AN" = "A" [mm] \cap [/mm] ("AN" | "A")
(anstelle des [mm] "\cap" [/mm] könnte man ev. auch ein [mm] "\wedge" [/mm]
für das logische "und" setzen)
Die obige Gleichung
P("AN") = P("A") *P("AN" | "A")
kann man dann auch so schreiben:
P("AN" | "A") = [mm] \frac{ P("\,AN")}{P( "\,A" )} [/mm] = [mm] \frac{ P("\,A" \cap ("\,AN" / "\,A"))}{P( "\,A" )}
[/mm]
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Sa 24.10.2009 | | Autor: | Giraffe |
Was für ein tolles Gefühl, wenn ich auf meine Fragen gehe u. alles ist GRÜN!
Unglaublich. Ihr seid 2 richtig fette Schätze!
Was kann ich noch sagen, außer "DANKE"!?!
Aber 1x durchlesen, damit ist es für mich nicht getan; ich werde das alles jetzt studieren müssen.
Herzlichen DANK für alle Bemühungen, Arbeit u. Zeit, die ihr investiert habt.
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) in das 
SchulMatheLexikon