10. Gym, S. 128, Nr. 10 < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:54 Do 12.04.2012 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Ermittle die Ableitg.s-Fkt. zu [mm] f(x)=x^2+2
[/mm]
a) mithilfe der SekantensteigungensfunktionEN
b) algebraisch mithilfe der h-Methode
Stelle beide Lösgs.wege übersichtl. dar. |
mir ist der Unterschied zwischen a) u. b) nicht klar.
ich habe trotzdem mal versucht:
allg. Form [mm] \bruch{delta y}{delta x}= \bruch{f(x+h) - f(x)}{h}
[/mm]
jetzt auf f(x) angewendet
[mm] \bruch{delta y}{delta x}= \bruch{(x+h)^2+2 - (x^2+2)}{h}
[/mm]
umformen, zus.fass., kürzen
=2x+h
das ist die Sekantensteigs.-Fkt.
Aber bei a) steht plural "mithilfe von Sekantensteigs.-FunktionEN"
=2x+h ist aber nur eine Funktion.
Oder sind es doch mehrere, weil h variabel ist?
Habe ich so a) oder b) gemacht?
Für helfende Antw. u. Klärung vielen DANK im voraus.
Gruß
Sabine
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:04 Fr 13.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sabine,
> Ermittle die Ableitg.s-Fkt. zu [mm]f(x)=x^2+2[/mm]
> a) mithilfe der SekantensteigungensfunktionEN
> b) algebraisch mithilfe der h-Methode
> Stelle beide Lösgs.wege übersichtl. dar.
> mir ist der Unterschied zwischen a) u. b) nicht klar.
das hatten wir doch schonmal alles durchdiskutiert. Kannst Du nicht einfach in dem Thread nochmal nachgucken?
> ich habe trotzdem mal versucht:
>
> allg. Form [mm]\bruch{delta y}{delta x}= \bruch{f(x+h) - f(x)}{h}[/mm]
>
> jetzt auf f(x) angewendet
>
> [mm]\bruch{delta y}{delta x}= \bruch{(x+h)^2+2 - (x^2+2)}{h}[/mm]
>
> umformen, zus.fass., kürzen
> =2x+h
> das ist die Sekantensteigs.-Fkt.
>
> Aber bei a) steht plural "mithilfe von
> Sekantensteigs.-FunktionEN"
> =2x+h ist aber nur eine Funktion.
> Oder sind es doch mehrere, weil h variabel ist?
Ja!
> Habe ich so a) oder b) gemacht?
>
> Für helfende Antw. u. Klärung vielen DANK im voraus.
> Gruß
> Sabine
Ich hab' meiner Faulheit wegen gar nicht wirklich drübergeguckt (sporadisch schon) - aber meinetwegen mal kurz:
Bei b) (ich finde diese "Micky-Maus-Bezeichnung" immer noch bekloppt, die da in Schulbüchern vorherrscht!) betrachtest Du zunächst den Differenzenquotienten (für $h [mm] \not=0$)
[/mm]
[mm] $$(\star)\;\;\;\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=...=2x+h\,.$$
[/mm]
Bei der "h(atschi)-Methode" hast Du nun noch $h [mm] \to [/mm] 0$ noch laufen zu lassen (d.h. der Differenzenquotient geht über in den Differentialquotienten), und gelangst zu [mm] $2x\,.$
[/mm]
Mit anderen Worten:
Die Funktion [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] auf [mm] $\IR$ [/mm] definiert hat an der Stelle [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] die Ableitung [mm] $f'(x_0)=2x_0\,,$ [/mm]
(Einschub: Graphisch: Legt man eine Tangente am Graphen von [mm] $f\,$ [/mm] am Punkt [mm] $(x_0,f(x_0)) \in \IR^2$ [/mm] an, so hat diese Tangente "die Steigung [mm] $2x_0\,.$" [/mm] Beachte dabei: Der Begriff der Steigung ist ein Begriff, der in der Beschreibung der Tangente als (affin) lineare Funktion, also in der Form [mm] $t(x)=m_1*x+n_1\,,$ [/mm] vorkommt. Geometrisch ist eigentlich der Graph von [mm] $t\,$ [/mm] eine Gerade des [mm] $\IR^2$: $\text{Graph}(t)=\{(x,t(x)) \in \IR^2: x \in \IR\}$ [/mm] (dieser Graph ist also wirklich die Tangente, "die man sieht!") wobei [mm] $t\,$ [/mm] halt von der Form [mm] $t(x)=m_1 x+n_1\,$ [/mm] ist. Insbesondere wird die Tangente an dem Graphen einer Funktion [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] niemals parallel zur [mm] $y\,$-Achse [/mm] sein können - denn das hieße [mm] $|m|=\infty\,.$)
[/mm]
d.h., weil [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] beliebig ist, folgt, dass die Ableitungsfunktion [mm] $f'\,$ [/mm] gegeben ist durch [mm] $f'(x)=2x\,$ [/mm] auf [mm] $\IR\,.$
[/mm]
Bei der Methode in a) ist auch nicht so klar, ob das nun nur graphisch oder mithilfe der Gleichungen, die die Sekantenfunktionen beschreiben, gemeint ist.
Ich mache einfach letzteres, denn graphisch kann man das dann auch gebrauchen:
Für $h [mm] \not=0$ [/mm] ist die hier gefragte Sekante [mm] $S\,$ [/mm] des [mm] $\IR^2$ [/mm] wieder strenggenommen eine Teilmenge des [mm] $\IR^2:$
[/mm]
[mm] $$S=\{(x,s(x)) \in \IR^2: x \in \IR\}\,.$$
[/mm]
Das ist der Graph der Funktion [mm] $s\,.$
[/mm]
Dabei ist [mm] $s\,$ [/mm] eine Funktion, die eine (nicht parallel zur [mm] $y\,$-Achse [/mm] liegende) Gerade des [mm] $\IR^2$ [/mm] beschreiben soll.
Man fordert (der Anschauung wegen):
Es soll [mm] $(x,f(x))\,$ [/mm] ein Punkt von [mm] $S\,$ [/mm] sein, und es soll $(x+h,f(x+h))$ ein Punkt von [mm] $S\,$ [/mm] sein. Weil [mm] $S\,$ [/mm] eine Gerade des [mm] $\IR^2$ [/mm] sein soll, die nicht parallel zur [mm] $y\,$-Achse [/mm] liegen kann (andernfalls wäre [mm] $f\,$ [/mm] keine Funktion), ist [mm] $s\,$ [/mm] eine Funktion der Form $s(r)=m*r+n$ für $r [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
Beachte: Ich habe hier $s=s(r)$ geschrieben, weil wir hier ja eine Stelle [mm] $x\,$ [/mm] und für [mm] $h\not=0$ [/mm] eine weitere Stelle [mm] $x+h\,$ [/mm] festhalten!
Nun kannst Du Dir leicht überlegen, dass [mm] $m=m_{x,x+h}\,$ [/mm] durch [mm] $(\star)$ [/mm] gegeben ist: Kurz:
Der dortige Differenzenquotient ist die Steigung der Sekante, die durch die Funktion [mm] $s\,$ [/mm] beschrieben wird [mm] ($S\,$ [/mm] enthält die Punkte $(x,f(x))$ und $(x+h,f(x+h))$ des Graphen von [mm] $f\,$).
[/mm]
D.h. (mit Deinem Ergebnis für die Funktion [mm] $f(r)=r^2$):
[/mm]
An der Stelle [mm] $x\,$ [/mm] hat die Sekante [mm] $S\,,$ [/mm] welche die Punkte $(x,f(x))$ und $(x+h,f(x+h))$ enthält, in der Funktionsgleichung [mm] $s\,$ [/mm] folgende Form:
[mm] $$s(r)=(2x+h)*r+n\,.$$
[/mm]
Dabei ist noch der [mm] $y\,$-Achsenabschnitt $n=n_{x,x+h}\,$ [/mm] unklar. Den erhältst Du aber, wenn Du [mm] $r=x\,$ [/mm] setzt und dann [mm] $s(x)=f(x)\,$ [/mm] beachtest!
Damit hast Du dann für (beliebiges) $h [mm] \not=0$ [/mm] die Sekante [mm] $S\,$ [/mm] dann vollständig beschrieben! (Eigentlich ist ja auch [mm] $S=S_{x,x+h}$ [/mm] und [mm] $s=s_{x,x+h}$ [/mm] - und strenggenommen hängen [mm] $S\,$ [/mm] und [mm] $s\,$ [/mm] ja auch von der betrachteten Funktion [mm] $f\,$ [/mm] ab).
P.S.
Um nicht dieses Bezeichnungswirrwarr zu haben, dass man unabhängige Variable einmal [mm] $x\,$ [/mm] nennt, dann ein andermal aber [mm] $x\,$ [/mm] festhält und daher nicht mehr [mm] $x\,$ [/mm] als Bezeichnung für die unabhängige Variable in einer Funktionsvorschrift verwenden kann, und damit dann zu [mm] $r\,$ [/mm] oder sonstwas übergeht, zu vermeiden, kann man auch anstatt der "festgehaltenen Stelle [mm] $x\,$" [/mm] besser immer sowas wie [mm] $x_0$ [/mm] für "festgehaltene Stellen" schreiben. Falls Dich das alles oben zu sehr verwirrt, kann das ja mal jmd. anderes machen - es kann sein, dass Dir das didaktisch besser gefällt!
Also allgemein kannst Du oben auch [mm] $n=n_{x,x+h}=n_x=n_{x+h}$ [/mm] komplett ausrechnen:
Oben ist [mm] $s(x)=f(x)=x^2\,,$ [/mm] also [mm] $f(x)=x^2=(2x+h)*x+n$ [/mm] und damit [mm] $n=x^2-2x^2-hx=-(x^2+hx)\,.$
[/mm]
Insgesamt:
Für [mm] $f(r)=r^2\,$ [/mm] ist die "Sekante bzgl. [mm] $f\,,$ [/mm] welche durch die Stellen [mm] $x\,$ [/mm] und [mm] $x+h\,$ [/mm] beschrieben wird", als Geradengleichung in der Form
[mm] $$(\star_2)\;\;\;s(r)=(2x+h)*r+(-x^2-hx)$$ [/mm]
gegeben.
Nun machen wir das ganze mal exemplarisch:
Betrachte [mm] $f(r)=r^2$ [/mm] an der Stelle [mm] $t=x=2\,.$ [/mm] Es ist [mm] $f(2)=4\,.$ [/mm] Nimm' [mm] $h=3\,.$ [/mm] Dann weißt Du, wenn $s(r)=mr+n$ (Funktionsgleichung für Sekante - in "Geradenform") ist, dass auch $s(2)=f(2)=4$ sein soll und dass auch $s(x+h)=t(2+3)=t(5)=f(5)=25$ sein soll.
D.h. die Steigung von [mm] $s\,$ [/mm] ist nichts anderes als
[mm] $$m=(f(5)-f(2))/(5-2)=(25-4)/(5-2)=21/3=7\,.$$
[/mm]
Gemäß [mm] $(\star)$ [/mm] mit $x=2$ und $h=3$ erhalten wir das auch:
[mm] $$m=2*x+h=2*2+3=7\,.$$
[/mm]
Damit wissen wir bisher, dass die Sekante die Form [mm] $s(r)=7*r+n\,$ [/mm] hat. Wegen $s(2)=s(x)=f(x)=f(2)=4$ muss auch $s(2)=7*2+n$ den Wert [mm] $4\,$ [/mm] haben:
[mm] $$4=7*2+n\,.$$
[/mm]
Damit ist [mm] $n=-10\,.$
[/mm]
Insgesamt also:
Betrachtet man die Funktion [mm] $f(r):=r^2$ [/mm] ($r [mm] \in \IR$) [/mm] an der Stelle [mm] $r=x:=2\,$ [/mm] und will mit [mm] $h=3\,$ [/mm] dann die Sekante [mm] $S\,$ [/mm] durch $(x,f(x))=(2,4)$ und [mm] $(x+h,f(x+h))=(5,25)\,,$ [/mm] welches beide Punkte des Graphen von [mm] $f\,$ [/mm] sind, mithilfe der Funktionsgleichung $s(p):=m*p+n$ ($p [mm] \in \IR$) [/mm] beschreiben, so ist
[mm] $$s(p)=7*p-10\,.$$
[/mm]
Betrachten wir nun unser Ergebnis aus [mm] $(\star_2)\,,$ [/mm] so steht dort, dass wir erhalten sollen (mit [mm] $x=2\,$ [/mm] und [mm] $h=3\,$)
[/mm]
[mm] $$s(r)=(2*x+h)*r+(-x^2-hx)=(2*2+3)*r+(-2^2-3*2)=7r-10\,.$$
[/mm]
Also das gleiche!
P.S.
Wenn Du magst, kann ich Dir auch allgemein hinschreiben, wie die Geradengleichung der Sekante einer Funktion [mm] $f\,,$ [/mm] welche bzgl. [mm] $f\,$ [/mm] durch zwei Stellen [mm] $x_0$ [/mm] und [mm] $x_0+h$ [/mm] gegeben ist, aussieht. Im Prinzip kannst Du aber auch mal versuchen, Dir das selbst herzuleiten!
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
