10.Kl.Gym S. 128 Nr. 10 < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:19 Fr 06.04.2012 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Hallo,
Ermittle die Ableitgs-Fkt. zu [mm] f(x)=x^2+2
[/mm]
a) mithilfe von Sekantensteigungs-Funktionen u.
b) algebraisch mithilfe der h-Methode
Stelle beide Lösungswege übersichtl. dar |
Das Verfahren mit der h-Methode ist klar. Also b) kann ich lösen.
Probleme macht a)
Die Ableitgs.Fkt. ist 2x, also f Strich von x.
Aber wo soll da eine Sekante sein?
Und wieso ist von Sekantensteigs.Funktionen im Plural die Rede?
Anders gefragt:
Was ist mit "mithilfe von Sekantensteigungs-Funktionen" gemeint?
Ich hoffe ich kann schnell an einem Feiertag so früh Antw. bekommen
Im voraus schon mal vielen DANK
Sabine
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Hallo Sabine,
> Hallo,
> Ermittle die Ableitgs-Fkt. zu [mm]f(x)=x^2+2[/mm]
> a) mithilfe von Sekantensteigungs-Funktionen u.
> b) algebraisch mithilfe der h-Methode
> Stelle beide Lösungswege übersichtl. dar
> Das Verfahren mit der h-Methode ist klar. Also b) kann ich
> lösen.
> Probleme macht a)
>
> Die Ableitgs.Fkt. ist 2x, also f Strich von x.
> Aber wo soll da eine Sekante sein?
> Und wieso ist von Sekantensteigs.Funktionen im Plural die
> Rede?
> Anders gefragt:
> Was ist mit "mithilfe von Sekantensteigungs-Funktionen"
> gemeint?
Ehrlich gesagt: das ganze sieht auf den ersten Blick auch für mich relativ sinnfrei aus.
Schlage zur Sicherheit nochmal in deinem Buch nach. Aber ich denke, mit den Sekantensteigungsfunktionen sind die Differenzenquotienten der Form
[mm] m_S(x)=\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
[/mm]
gemeint. Lässt man hier [mm] x->x_0 [/mm] streben, so erhät man als Grenzwert ebenfalls die Ableitung. Manche Lehrer und manche Schulbuchautoren bezeichnen dies (im Gegensatz zur h-Methode) als x-Methode.
Hilft dir das schon weiter?
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:07 Fr 06.04.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo diophant,
> Ehrlich gesagt: das ganze sieht auf den ersten Blick auch
> für mich relativ sinnfrei aus.
das ist immer erleichternd zu hören, d.h. ich muss die Aufg. nicht so ernst nehmen.
> Ich denke, mit den Sekantensteigungsfunktionen sind die
> Differenzenquotienten der Form
>
> [mm]m_S(x)=\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm]
>
> gemeint.
Ja, genauso habe ich es auch gemacht. Nur ohne h, sondern mit deutl. größeren Werten.
Zu bestimmen - ich habe das einfach so festgelegt- die Steig. an der Stelle x=1
Sekante läuft durch x=1 und x=2
Hiervon die mittlere Sekantensteig. mit dem Differenzen-Quot. bestimmt.
Danach die mittlere Steig. der Sekante, die durch x=1 u. x=1,5 läuft best.
Und als dritte Sekante, die die durch durch x=1 und x=1,1 läuft
So, das war zumindest das Ergebnis, nach dem ersten Überfliegen deiner Antw..
Hauptsächl. nahm ich beim ersten Lesen mit:
viele Differenzenquotienten.
Jetzt lese ich die Aufg. nochmal: "Ermittlere die Ableitgs.Fkt. zu [mm] f(x)=x^2+2
[/mm]
mithilfe von Sekantensteigungs-Fkt.
Dann ist das, was ich gemacht habe, das geht dann ja nur in die richtige Richtig. Aber mehr auch nicht.
Lässt man hier [mm]x->x_0[/mm] streben,
Genau das werde ich jetzt nochmal machen. Und zwar ohne ein Beispiel, d.h. ohne mir eine bestimmte x-Stelle vorher auszusuchen.
> so erhät man als Grenzwert ebenfalls die Ableitung. Manche
> Lehrer und manche
> Schulbuchautoren bezeichnen dies (im Gegensatz zur
> h-Methode) als x-Methode.
>
> Hilft dir das schon weiter?
auf jeden Fall
DANKE
Toll, dass ihr hier zu Ostern auch zu Gange seid.
>
>
> Gruß, Diophant
>
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Hallo Sabine, eine Sekante ist eine Gerade, die durch zwei Punkte einer Kurve verläuft, du bekommst für dein Beispiel:
msek(x)=2x+h
du kannst jetzt beliebige Stellen einsetzen, z.B. x=-2, x=0, x=1, diese Stelle habe ich gewählt, Punkt A
msek(1)=2*1+h
weiterhin habe ich den Punkt B(2;6) gewählt, also h=1
msek(1)=2*1+1=3
weiterhin habe ich den Punkt C(1,5;4,25) gewählt, also h=0,5
msek(1)=2*1+0,5=2,5
[Dateianhang nicht öffentlich]
jetzt sollte dir klar sein, warum Mehrzahl steht, h wird immer kleiner, 0,1; 0,001 .......
Ziel ist dann aber, [mm] \limes_{h\rightarrow0}2x+h=2x
[/mm]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Fr 06.04.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Steffi,
ich habe alles, was du geschrieben hast jetzt Schritt für Schritt nachvollzogen. Leider muss ich immer meinen eigenen Senf dazugeben, so wie ich es verstehe. Nur dummerweise kommt es dann manchmal leider auch zu Verfälschungen. So siehts aus:
Aufg. allg. ohne die Anweisungen a) und b):
Ermittel die Ableitgs.Fkt. zu [mm] f(x)=x^2+2
[/mm]
f´(x)=2x oder msek(x)=2x+h
Beides sind allg. Formen, mit der man die Steig. in JEDEM beliebigen Pkt. der Ausgangs-Fkt. best. kann.
Ich wähle den Pkt. (1/3), d.h. ich will die Steig. wissen bei x=1
f´(1)=2*1 oder msek(1)=2*1+h
Ich wähle den Pkt. (2/ ), d.h. ich will die Steig. wissen bei x=2
f´(2)=2*2 oder msek(1)=2*1+(2-1)=2+1=3
gleiche Stelle, nur h soll nicht mehr 1 sein, sondern 0,5
dann msek(1)=2*1+0,5=2,5
Was habe ich da jetzt überhaupt ausgerechnet?
Die Steig.
Sie ist 2,5
Die Sekantensteig. (ist 2,5), die durch (1/3) und (1,5/ ) geht.
Jetzt, worum es eigentl. geht
msek(1)=2*1+0,1 =2,1
msek(1)=2*1+0,01 =2,01
msek(1)=2*1+0,001 =2,001
msek(1)=2*1+0,0001 =usw.
msek(1)=2*1+0,00001 =
msek(1)=2*1+0,000001 =
Man kann sich sehr gut vorstellen, wenn h gegen Null strebt, dass die Steig. dann 2 ist.
Aber Diophant hat doch recht, die Aufg. ist schlecht.
Der Ansatz von dir benutzt doch die h-Methode
Bilde Ableitgs.-Fkt.
a) mit Sekantensteigungs-Fkt. und
b) mit h-Methode
Mir ist der Unterschied zwischen a) und b) leider immer noch nicht klar.
LG
Sabine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Fr 06.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Steffi,
> ich habe alles, was du geschrieben hast jetzt Schritt für
> Schritt nachvollzogen. Leider muss ich immer meinen eigenen
> Senf dazugeben, so wie ich es verstehe. Nur dummerweise
> kommt es dann manchmal leider auch zu Verfälschungen. So
> siehts aus:
>
> Aufg. allg. ohne die Anweisungen a) und b):
> Ermittel die Ableitgs.Fkt. zu [mm]f(x)=x^2+2[/mm]
>
> f´(x)=2x oder msek(x)=2x+h
>
> Beides sind allg. Formen, mit der man die Steig. in JEDEM
> beliebigen Pkt. der Ausgangs-Fkt. best. kann.
>
> Ich wähle den Pkt. (1/3), d.h. ich will die Steig. wissen
> bei x=1
> f´(1)=2*1 oder msek(1)=2*1+h
>
> Ich wähle den Pkt. (2/ ), d.h. ich will die Steig. wissen
> bei x=2
> f´(2)=2*2 oder msek(1)=2*1+(2-1)=2+1=3
>
> gleiche Stelle, nur h soll nicht mehr 1 sein, sondern 0,5
> dann msek(1)=2*1+0,5=2,5
>
> Was habe ich da jetzt überhaupt ausgerechnet?
> Die Steig.
> Sie ist 2,5
> Die Sekantensteig. (ist 2,5), die durch (1/3) und (1,5/
> ) geht.
>
> Jetzt, worum es eigentl. geht
>
> msek(1)=2*1+0,1 =2,1
> msek(1)=2*1+0,01 =2,01
> msek(1)=2*1+0,001 =2,001
> msek(1)=2*1+0,0001 =usw.
> msek(1)=2*1+0,00001 =
> msek(1)=2*1+0,000001 =
>
> Man kann sich sehr gut vorstellen, wenn h gegen Null
> strebt, dass die Steig. dann 2 ist.
>
> Aber Diophant hat doch recht, die Aufg. ist schlecht.
> Der Ansatz von dir benutzt doch die h-Methode
>
> Bilde Ableitgs.-Fkt.
> a) mit Sekantensteigungs-Fkt. und
> b) mit h-Methode
>
> Mir ist der Unterschied zwischen a) und b) leider immer
> noch nicht klar.
> LG
> Sabine
der Unterschied ist: a) ist eine geometrische Methode, b) ist eine algebraische Methode. Warum man das "x-Methode" oder "h-Methode" nennt, ist mir vollkommen unklar. (Und meines Erachtens genauso sinnfrei, wie wenn ich es Micky-Maus-Methode nennen würde:
Dann berechne ich halt für [mm] $\text{Micky-Maus} \not=0$
[/mm]
[mm] $$\frac{f(x+\text{Micky-Maus})-f(x)}{\text{Micky-Maus}}$$
[/mm]
und lasse bei der Bildung des Differentialquotienten dann $0 [mm] \not=\text{Micky-Maus}\to [/mm] 0$ laufen!)
Sinn macht es, bei b) davon zu sprechen, auf algebraischem Wege etwa mittels Differenzenquotienten den Differentialquotient zu berechnen:
Für $h [mm] \not=0$ [/mm] ist ja
[mm] $$\frac{f(x+h)-f(x)}{x+h-x}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
[/mm]
eben der Differenzenquotient (von [mm] $f\,$ [/mm] bzgl. des Intervalls [mm] $[x,x+h]\,,$ [/mm] falls $h > [mm] 0\,,$ [/mm] bzw. bzgl. des Intervalls [mm] $[x+h,x]\,,$ [/mm] falls $h < [mm] 0\,$), [/mm] und damit kann man sich überlegen/klarmachen, ob (bzw. hier: dass)
[mm] $$\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
[/mm]
existiert.
Es ist (im Falle der Existenz, die hier gegeben ist)
[mm] $$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
[/mm]
die ABLEITUNG der Funktion [mm] $f\,$ [/mm] AN DER STELLE [mm] $x\,.$ [/mm] (Man beachte, dass [mm] $\lim_{h \to 0}$ [/mm] als [mm] $\lim_{0 \not=h \to 0}$ [/mm] zu verstehen ist!)
Wenn diese FÜR ALLE STELLEN [mm] $x\,$ [/mm] existiert, dann kann man die Ableitungsfunktion [mm] $f'\,$ [/mm] hinschreiben:
Ist also $f: D [mm] \to \IR$ [/mm] differenzierbar, so ist die Ableitungsfunktion $g: D [mm] \to \IR$ [/mm] gegeben durch die punktweise Definition [mm] $g(x):=f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ [/mm] (für alle $x [mm] \in [/mm] D$). Im Sinne des Funktionszeichens setzt man dann die FUNKTION [mm] $f'\,$ [/mm] fest durch [mm] $f':=g\,.$
[/mm]
(Ich schreibe das so ausführlich (obwohl selbst das noch nicht ausführlich genug ist - aber Begriffe wie Häufungspunkte etc. lassen wir mal außen vor!), weil einerseits [mm] $f'(x)\,$ [/mm] erstmal punktweise definiert ist, nämlich an der Stelle [mm] $x\,,$ [/mm] sofern der obige Diff'quotient an der Stelle [mm] $x\,$ [/mm] existiert, und andererseits schreibt man für die Ableitungsfunktion (natürlich auch in sinniger Weise) kurz [mm] $f'\,.$ [/mm] Es gibt sicher auch eine bessere Methode zur Definition, die sowas evtl. erspart, aber machen wir's halt hier einfach mal so...)
Nun zurück zur Aufgabe:
Wenn Du Aufgabe b) nun angehst, und wir sagen erstmal, dass Du an einer Stelle [mm] $x_0$ [/mm] nun [mm] $f'(x_0)$ [/mm] berechnest, so sieht das doch für $h [mm] \not=0$ [/mm] wie folgt aus:
Mittels des Differenzenquotienten berechnest Du
[mm] $$(\star)\;\;\;\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\,.$$
[/mm]
Später lassen wir $0 [mm] \not=h \to [/mm] 0$ laufen und erhalten dann den Differentialquotient von [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] - und zwar algebraisch, wie in b) verlangt!
Nun der Zusammenhang zu a):
Wir schauen uns den Graphen von [mm] $f\,$ [/mm] an:
Klar ist, dass der Punkt [mm] $A:=(x_0,f(x_0)) \in \IR^2$ [/mm] zum Graphen von [mm] $f\,$ [/mm] gehört. Diesen halten wir fest.
Für jedes $h [mm] \not=0$ [/mm] können wir nun die Stelle [mm] $x_h:=x_0+h$ [/mm] betrachten, dann ist [mm] $f(x_h)=f(x_0+h)\,.$ [/mm] Also gehört der Punkt [mm] $B_h:=(x_h,f(x_h))=(x_0+h,f(x_0+h)) \in \IR^2$ [/mm] natürlich auch zum Graphen von [mm] $f\,.$
[/mm]
Die Gerade des [mm] $\IR^2\,,$ [/mm] die durch die Punkte [mm] $A\,$ [/mm] und [mm] $B_h$ [/mm] geht (und die nicht parallel zur [mm] $y\,$-Achse [/mm] sein kann! Warum?), kann man (mittels einer Funktionsvorschrift be-) schreiben als
[mm] $$s(x):=m*x+n\,.$$ [/mm]
(Eigentlich ist etwa [mm] $s=s_{A,B_h}:$ [/mm]
Denn wenn sich einer der beiden Punkte [mm] $A\,$ [/mm] oder [mm] $B_h$ [/mm] ändert, gibt es eine neue Gerade - [mm] $s\,$ [/mm] nenne ich sie wegen "Sekante". Daher sollte man da auch [mm] $m=m_{A,B_h}$ [/mm] und [mm] $n=n_{A,B_h}$ [/mm] beachten!)
Die Steigung [mm] $m=m_{A,B_h}$ [/mm] der Sekante ergibt sich schnell geometrisch. Wenn man sich das überlegt, sieht man:
Wir haben sie schonmal hingeschrieben, nämlich algebraisch - siehe [mm] $(\star)$:
[/mm]
[mm] $$m=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\,.$$
[/mm]
Was passiert nun geometrisch, wenn wir [mm] $A\,$ [/mm] festhalten (wir wollten ja [mm] $f'(x_0)$ [/mm] mit der Sekantenmethode berechnen) und $h [mm] \to [/mm] 0$ laufen lassen?
Naja, [mm] "$B_h$ [/mm] rückt immer näher an [mm] $A\,$ [/mm] heran". Die Sekante, die durch die Punkte [mm] $A\,$ [/mm] und [mm] $B_h$ [/mm] des [mm] $\IR^2$ [/mm] verläuft, geht über in eine Tangente an den Graphen von [mm] $f\,$ [/mm] im Punkte [mm] $A\,.$ [/mm] D.h. die Steigung dieser Tangente ist nichts anderes als [mm] $f'(x_0)$ [/mm] - denn beachte: Der Differenzenquotient aus [mm] $(\star)$ [/mm] ist ja gerade die Steigung der Sekante durch die Punkte [mm] $A\,$ [/mm] und [mm] $B_h\,,$ [/mm] die beide zum Graphen von [mm] $f\,$ [/mm] gehören.
P.S.
Siehe auch ![[]](/images/popup.gif) Wiki, Einführung in die Differentialrechnung
oder
Youtube-Video zur Tangenten-/Sekantensteigung
oder
Weiteres Video
(letzteres bricht bei mir aber leider irgendwie zwischendrin einfach ab).
Gruß,
Marcel
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