-1 Quadratischer Rest < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:49 Di 09.11.2010 | | Autor: | daN-R-G |
Hallo!
Ich habe da mal ne Frage, die mich grad ein wenig verstutzt: Auf Wikipedia (http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl) steht folgendes:
"Die Zahl −1 ist ein quadratischer Rest modulo jeder Primzahl der Form 4k+1 und quadratischer Nichtrest modulo jeder Primzahl der Form 4k+3."
Das bedeutet ja, dass gilt: [mm] x^2 \equiv [/mm] -1 [mm] \mod{p} \gdw [/mm] p | [mm] x^2 [/mm] + 1
Nun ist 13 = 4k+1 mit k = 3, aber 13 teilt doch kein [mm] x^2+1 [/mm] mit x [mm] \in \IZ. [/mm] Ist der Eintrag an der Stelle einfach nur falsch, oder übersehe ich was?
Für die Zahlen 5 bzw. 17 z.B. funktioniert das ganze dagegen wunderbar, da [mm] 5|2^2+1 [/mm] und [mm] 17|4^2+1 [/mm] Ich denke, dass ich irgendwas übersehe...
Wann genau ist denn dann immer -1 ein QR [mm] \mod{p} [/mm] ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 Di 09.11.2010 | | Autor: | moudi |
> Hallo!
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> Ich habe da mal ne Frage, die mich grad ein wenig
> verstutzt: Auf Wikipedia
> (http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl) steht folgendes:
>
> "Die Zahl −1 ist ein quadratischer Rest modulo jeder
> Primzahl der Form 4k+1 und quadratischer Nichtrest modulo
> jeder Primzahl der Form 4k+3."
>
> Das bedeutet ja, dass gilt: [mm]x^2 \equiv[/mm] -1 [mm]\mod{p} \gdw[/mm] p |
> [mm]x^2[/mm] + 1
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> Nun ist 13 = 4k+1 mit k = 3, aber 13 teilt doch kein [mm]x^2+1[/mm]
> mit x [mm]\in \IZ.[/mm] Ist der Eintrag an der Stelle einfach nur
Doch nimm x=5. Es wird nicht behauptet das [mm] $13=x^2+1$.
[/mm]
> falsch, oder übersehe ich was?
> Für die Zahlen 5 bzw. 17 z.B. funktioniert das ganze
> dagegen wunderbar, da [mm]5|2^2+1[/mm] und [mm]17|4^2+1[/mm] Ich denke, dass
> ich irgendwas übersehe...
>
> Wann genau ist denn dann immer -1 ein QR [mm]\mod{p}[/mm] ?
mfG Moudi
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