komplexe Gleichungen lösen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 Mo 14.02.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Sei f die Transformation der Ebene, die der komplexen Zahl z den Punkt f(z)=z*|z| zuordnet.
a) Man bestimme und konstruiere die Fixpunktmenge von f.
b) Man löse für eine gegebene komplexe Zahl a die Gleichung z*|z|=a und folgere,dass f bijektiv ist. |
Hallo,
ich habe mal versucht die Aufgabe zu lösen,aber bin nicht mehr weitergekommen.
a) Das Konstruieren ist jetzt nicht so wichtig,mir gehts eher um die Rechnung.
Für die Fixpunkte muss gelten f(z)=z, d.h. |z|=1. Ich muss also alle komplexen Zahlen finden, die den Betrag 1 haben. Wenn der Betrag 1 ist,folgt schonmal,dass z=cos [mm] \phi+i*sin \phi [/mm] ist. So, aber wie ich jetzt den Winkel [mm] \phi [/mm] rausbekomme, weiß ich leider nicht. Ich hab überlegt, ob Polarkoordinaten vielleicht helfen, aber die bringen auch nicht.
Hat jemand einen Tipp für mich?
b) Aus z*|z|=a folgt schonmal, dass [mm] |z|^{2}*(cos \phi+i*sin \phi)=a,aber [/mm] das hilft nicht, ich glaube das macht die Sache nur komplizierter.
Ich weiß einfach nicht, wie ich hier vorgehen soll. Kann mir jemand weiterhelfen?
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy,
sorry, bin auf eine falsche Taste gekommen 
> Sei f die Transformation der Ebene, die der komplexen Zahl
> z den Punkt f(z)=z*|z| zuordnet.
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> a) Man bestimme und konstruiere die Fixpunktmenge von f.
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> b) Man löse für eine gegebene komplexe Zahl a die
> Gleichung z*|z|=a und folgere,dass f bijektiv ist.
> Hallo,
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> ich habe mal versucht die Aufgabe zu lösen,aber bin nicht
> mehr weitergekommen.
>
> a) Das Konstruieren ist jetzt nicht so wichtig,mir gehts
> eher um die Rechnung.
>
> Für die Fixpunkte muss gelten f(z)=z, d.h. |z|=1.
Naja, erstmal [mm] $z\cdot{}|z|=z$
[/mm]
Für [mm] $z\neq [/mm] 0$, ($z=0$ löst die obige Gleichung auch), folgt dann $|z|=1$
> Ich muss also alle komplexen Zahlen finden, die den Betrag 1 haben. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wenn der Betrag 1 ist,folgt schonmal,dass z=cos [mm]\phi+i*sin \phi[/mm]
> ist. So, aber wie ich jetzt den Winkel [mm]\phi[/mm] rausbekomme,
> weiß ich leider nicht. Ich hab überlegt, ob
> Polarkoordinaten vielleicht helfen, aber die bringen auch
> nicht.
> Hat jemand einen Tipp für mich?
$z=x+iy$, dann ist [mm] $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ [/mm] und das soll $=1$ sein.
Quadrieren und an die Schulzeit denken ...
Gruß
schachuzipus
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> Sei f die Transformation der Ebene, die der komplexen Zahl
> z den Punkt f(z)=z*|z| zuordnet.
>
> a) Man bestimme und konstruiere die Fixpunktmenge von f.
>
> b) Man löse für eine gegebene komplexe Zahl a die
> Gleichung z*|z|=a und folgere,dass f bijektiv ist.
> b) Aus z*|z|=a folgt schonmal, dass [mm]|z|^{2}*(cos \phi+i*sin \phi)=a[/mm] ,
> aber das hilft nicht, ich glaube das macht die Sache nur
> komplizierter.
(Letzteres denke ich nicht - es zeigt doch immerhin,
dass man aus dem Polarwinkel von a denjenigen von z
ganz leicht bestimmen kann)
Hallo Mandy_90
Für den Beweis der Bijektivität empfehle ich dir, dass du
dir (bevor du der Anweisung mit der Gleichung $\ z*|z|=a$
folgst) die Funktionsweise der Abbildung f einmal anschaulich
in der Gaußschen Ebene klar machst. Wähle einige
Punkte und mach dir klar, wie man ihre jeweiligen
Bildpunkte grafisch erzeugt.
Die Polardarstellung hilft bestimmt ebenfalls.
Sei [mm] z=r*e^{i\ \phi}. [/mm] Stelle f(z) ebenfalls in dieser Weise dar !
In einem zweiten Schritt überlegst du dir dann, wie man
zu einem gegebenen Punkt a in der komplexen Ebene
den zugehörigen Urbildpunkt z mit f(z)=a konstruieren kann.
LG Al-Chw.
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