integriere 1/(x*(b-x)) < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 Mi 11.08.2004 | | Autor: | psjan |
Hallo alle!
Hier ein Integral, das eigentlich sehr einfach sein sollte und mich doch etwas verwirrt (Ich muss dazu sagen, dass mein Integral-Rechnen wohl etwas eingerostet ist und dieses Posting hoffentlich nicht eigentlich in die Oberstufen-Mathe gehört (?!)). Also, ich habe Folgendes im Walter gewöhnl. DGL, Kap. 1, §1, XIV gelesen:
[mm] (\beta [/mm] -1) [mm] \integral_{1}^{u} \bruch{ds}{s(\beta -s)} [/mm] = [mm] \bruch{\beta -1}{\beta} [/mm] log [mm] \bruch{(\beta -1)u}{\beta -u}
[/mm]
Wie kommen die da drauf? Mein erster Verdacht wäre Integrieren einer rationalen Funktion [mm] 1/(x^2+bx+c) [/mm] gewesen, aber da kommt ein arctan ins Spiel und kein log.
Vielen Dank schon mal im Voraus...
psjan
Das ist mein erstes Posting und daher:
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Mi 11.08.2004 | | Autor: | felixs |
hab mal ne idee:
[mm] $(\beta [/mm] -1) [mm] \integral_{1}^{u} \bruch{ds}{s(\beta -s)} [/mm] $
$= [mm] \frac{\beta-1}{\beta} \integral_{1}^{u} \bruch{\beta}{s(\beta -s)} [/mm] ds $
partialbruchzuzerlegen...
$= [mm] \frac{\beta-1}{\beta} \integral_{1}^{u} [/mm] ( [mm] \bruch{A}{s}+\frac{B}{\beta -s} [/mm] ) ds$
gibt dann (ich lass mal die rechnung weg)
[mm] $=\frac{\beta-1}{\beta}\integral_{1}^{u} \bruch{1}{s}+\frac{1}{\beta -s} [/mm] ds $
kann man logarithmisch integrieren:
[mm] $=\frac{\beta-1}{\beta} \left [ ln s - ln (\beta -s) \right ]_{s=1}^{s=u} [/mm] $
also
[mm] $=\frac{\beta-1}{\beta} \left ( ln u - ln (\beta -u) - ln 1 + ln (\beta -1) \right [/mm] ) $
oder
[mm] $=\frac{\beta-1}{\beta} [/mm] ln [mm] \frac{(\beta -1)u}{\beta-u} [/mm] $
... glaube das passt so
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:13 Do 12.08.2004 | | Autor: | psjan |
Hallo felixs,
danke für die schnelle und klare Lösung!
CU
psjan
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