www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Zahlentheorie" - gaußscher Zahlenring
gaußscher Zahlenring < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

gaußscher Zahlenring: Einheiten
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:12 Do 26.05.2011
Autor: clemenum

Aufgabe
Man zeige:
[mm] $\mathbb{Z}[i]^{*} [/mm] = [mm] \{\alpha \in \mathbb{Z}[i] : N(\alpha) = 1 \} [/mm] = [mm] \{1,-1,i,-i\},$ [/mm] wobei [mm] $N(\alpha)$ [/mm] die dortig übliche Norm darstellt - als Abbildung [mm] $\mathbb{Z}[i] \rightarrow \mathbb{Z} [/mm] $

(Wenn in der Angabe nicht klar erischtlich - ganz links sollte "Z von i stern stehen, also die Menge aller Einheiten...)  

Beweisidee:
Da die Norm ein Homomorphismus ist, gilt:
$1 = xy [mm] \Rightarrow [/mm]  1 = [mm] N(\alpha\beta) [/mm] = [mm] N(\alpha)N(\beta) \Rightarrow N(\alpha) N(\beta) [/mm] = 1.$ Da wir uns im Bereich der natürlichen Zahlen bewegen, muss zwangsläufig nun [mm] $N(\alpha) [/mm] = [mm] N(\beta) [/mm] = 1$ folgen.  Es ist nun aber intuitiv einleuchtend, dass letzteres nur (dann) möglich ist, wenn [mm] $\beta [/mm] = 1, -1, i$  oder $- i$ ist.  
Wie kann ich nun aber letzteres formal zeigen ohne "Beweis durch Überreden" führen zu müssen? (Oder ist es so klar, dass man es gar nicht mehr weiter logisch zerlegen kann??)

        
Bezug
gaußscher Zahlenring: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:35 Do 26.05.2011
Autor: schachuzipus

Hallo clemenum,


> Man zeige:
> [mm]\mathbb{Z}[i]^{*} = \{\alpha \in \mathbb{Z}[i] : N(\alpha) = 1 \} = \{1,-1,i,-i\},[/mm] [/i][/i][/mm]
> [mm][i][i]wobei N(\alpha)[/mm] die dortig übliche Norm darstellt - als [/i][/i][/mm]
> [mm][i][i]Abbildung \mathbb{Z}[i] \rightarrow \mathbb{Z}[/mm][/i][/mm][/i][/i][/mm]
> [mm][i][i][i] (Wenn in der [/i][/mm][/i][/i][/mm]
> [mm][i][i][i]Angabe nicht klar erischtlich - ganz links sollte " z="" von="" i="" [="" i]"="" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$%2524%24$">">%5Bi%5D%5Bi%5D%5Bi%5DAngabe%20nicht%20klar%20erischtlich%20-%20ganz%20links%20sollte%20$" i]"="">[/i][/i][/mm]
> [ok]

> Es ist [/i][/mm][/i][/i][/mm]
> <img class="latex" _cke_realelement="true" alt="$nun aber intuitiv einleuchtend, dass letzteres nur (dann) [/mm][/mm]
> [mm][i][i][i]möglich ist, wenn \beta = 1, -1, i[/mm]  oder [mm]- i[/mm] ist.  [/i][/mm][/i][/i][/mm]
> [mm][i][i][i]Wie kann ich nun aber letzteres formal zeigen ohne " beweis="" [="" i]"="" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$">%5Bi%5D%5Bi%5D%5Bi%5DWie%20kann%20ich%20nun%20aber%20letzteres%20formal%20zeigen%20ohne%20[/mm][mm][i][i][i]durch Überreden" führen="" zu="" müssen?="" (oder="" ist="" es="" so="" klar,="" [="" i]$"="" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$%5Bi%5D%5Bi%5D%5Bi%5Ddurch%20%C3%9Cberreden$" i]"="">"="" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$%3Cspan%20class%3D$"math">$%5Bi%5D%5Bi%5D%5Bi%5Ddurch%20%C3%9Cberreden[/mm]


Nun, sei <span class="math"><img class="latex" _cke_realelement="true" [mm] alt="$\alpha=a+bi, a,b\in\IZ[/mm], [/mm] was ist dann [mm]N(\alpha)[/mm] ?

Doch [mm]=a^2+b^2[/mm]

Löse also [mm]a^2+b^2=1[/mm].

Wegen [mm]a^2,b^2\ge 0[/mm], kommen nur in Frage ...

Gruß

schachuzipus


Bezug
        
Bezug
gaußscher Zahlenring: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:45 Do 26.05.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Man zeige:
> [mm]\mathbb{Z}[i]^{*} = \{\alpha \in \mathbb{Z}[i] : N(\alpha) = 1 \} = \{1,-1,i,-i\},[/mm] [/i][/i][/mm]
> [mm][i][i]wobei [mm]N(\alpha)[/mm] die dortig übliche Norm darstellt - als [/i][/i][/mm]
> [mm][i][i]Abbildung [mm]\mathbb{Z}[i] \rightarrow \mathbb{Z}[/mm][/i][/mm][/i][/i][/mm]
> [mm][i][i][mm][i] (Wenn in der [/i][/mm][/i][/i][/mm]
> [mm][i][i][mm][i]Angabe nicht klar erischtlich - ganz links sollte "Z von i [/i][/mm][/i][/i][/mm]
> [mm][i][i][mm][i]stern stehen, also die Menge aller Einheiten...) [/i][/mm][/i][/i][/mm]
> [mm][i][i][mm][i][/i][/mm][/i][/i][/mm]
> [mm][i][i][mm][i]Beweisidee:[/i][/mm][/i][/i][/mm]
> [mm][i][i][mm][i] Da die Norm ein Homomorphismus ist, gilt:[/i][/mm][/i][/i][/mm]
> [mm][i][i][mm][i] [mm]1 = xy \Rightarrow 1 = N(\alpha\beta) = N(\alpha)N(\beta) \Rightarrow N(\alpha) N(\beta) = 1.[/mm] [/i][/mm][/i][/i][/mm]
> [mm][i][i][mm][i]Da wir uns im Bereich der natürlichen Zahlen bewegen, muss [/i][/mm][/i][/i][/mm]
> [mm][i][i][mm][i]zwangsläufig nun [mm]N(\alpha) = N(\beta) = 1[/mm] folgen. Es ist [/i][/mm][/i][/i][/mm]
> [mm][i][i][mm][i]nun aber intuitiv einleuchtend, dass letzteres nur (dann) [/i][/mm][/i][/i][/mm]
> [mm][i][i][mm][i]möglich ist, wenn [mm]\beta = 1, -1, i[/mm] oder [mm]- i[/mm] ist. [/i][/mm][/i][/i][/mm]
> [mm][i][i][mm][i]Wie kann ich nun aber letzteres formal zeigen ohne "Beweis [/i][/mm][/i][/i][/mm]
> [mm][i][i][mm][i]durch Überreden" führen zu müssen? (Oder ist es so klar, [/i][/mm][/i][/i][/mm]
> [mm][i][i][mm][i]dass man es gar nicht mehr weiter logisch zerlegen kann??) [/i][/mm][/i][/i][/mm]


Hallo clemenum,

1.) warum stellst du deinen Beitrag so eigenartig
dar, und erst noch auf mühsame Weise, dass man ihn
bei Bearbeitung kaum mehr lesen kann ?

2.) was meinst du mit der "dortig üblichen Norm"
(also in der Menge der gaußschen ganzen Zahlen) ?

LG   Al-Chw.


Bezug
                
Bezug
gaußscher Zahlenring: Missverständnis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:56 Do 26.05.2011
Autor: clemenum

Bei Schachuzipus seiner Antwort ist leider die Darstellung so seltsam geworden! Bei mir sehe ich eine normale Darstellung.

Ich meine natürlich $N(x+iy) = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm]  = (x+iy)(x-iy) = [mm] |x+iy|^2$ [/mm] (die Norm also, die man schon von der Schule her kennt...)

Bezug
                        
Bezug
gaußscher Zahlenring: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:05 Do 26.05.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Bei Schachuzipus seiner Antwort ist leider die Darstellung
> so seltsam geworden! Bei mir sehe ich eine normale
> Darstellung.

Ja, du hast irgendwie zuviele [ i ] - tags benutzt, da ist beim Zitieren alles in die Hose gegangen!

>
> Ich meine natürlich [mm]N(x+iy) = x^2 + y^2 = (x+iy)(x-iy) = |x+iy|^2[/mm]
> (die Norm also, die man schon von der Schule her kennt...)  

Ja, und welche Lösung hat dann [mm] $x^2+y^2=1$? [/mm]

Beachte, dass Wegen [mm] $\alpha=x+iy\in\IZ[i]$ [/mm] gilt: [mm] $x,y\in\IZ$ [/mm]

Rechne das aus !

Gruß

schachuzipus


Bezug
                        
Bezug
gaußscher Zahlenring: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:09 Do 26.05.2011
Autor: felixf

Moin!

> Bei Schachuzipus seiner Antwort ist leider die Darstellung
> so seltsam geworden! Bei mir sehe ich eine normale
> Darstellung.

Das Problem ist, wenn man [i] in einer Formel verwendet, die mit $...$ ausgezeichnet wird. (Also etwa in $\IZ[i]$.) Sobald man sowas zitieren moechte, geht es schief.

Das ist leider ein schon ziemlich lang vorhandener und ziemlich anstrengender Bug des Forums...

LG Felix


Bezug
                        
Bezug
gaußscher Zahlenring: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:35 Do 26.05.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Ich meine natürlich [mm]N(x+iy) = x^2 + y^2 = (x+iy)(x-iy) = |x+iy|^2[/mm]
> (die Norm also, die man schon von der Schule her kennt...)  

In meiner Schule war bei der Norm komplexer Zahlen
noch eine Quadratwurzel beteiligt.

Wenn du als "Norm" N tatsächlich [mm] N(x+iy)=x^2+y^2 [/mm] nehmen
willst, dann hat diese den schwerwiegenden Mangel, dass sie
die von einer "Norm" erwartete Dreiecksungleichung

       $\ [mm] N(z+w)\le [/mm] N(z)+N(w)$  

nicht immer erfüllt !

LG   Al-Chw.



Bezug
                                
Bezug
gaußscher Zahlenring: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:46 Do 26.05.2011
Autor: felixf

Moin Al!

> > Ich meine natürlich [mm]N(x+iy) = x^2 + y^2 = (x+iy)(x-iy) = |x+iy|^2[/mm]
> > (die Norm also, die man schon von der Schule her kennt...)  
>
> In meiner Schule war bei der Norm komplexer Zahlen
> noch eine Quadratwurzel beteiligt.

Hier handelt es sich aber um die []"natuerliche" Norm einer endlichen Koerpererweiterung $L/K$ (mit $L = [mm] \IQ(i)$, [/mm] $K = [mm] \IQ$): [/mm] man fasst ein Element [mm] $\alpha \in [/mm] L$ als $K$-Vektorraum-Homomorphismus $x [mm] \mapsto \alpha [/mm] x$ von $L$ auf, und nimmt die Determinante dessen. Das ist dann [mm] $N_{L/K}(\alpha)$, [/mm] und die so erhaltende Funktion [mm] $N_{L/K} [/mm] : L [mm] \to [/mm] K$ nennt sich Norm.

Und da [mm]\IZ[i[/mm]$ der ganze Abschluss von [mm] $\IZ$ [/mm] in [mm] $\IQ(i)$ [/mm] ist, schraenkt sich die Norm auf eine Funktion [mm]N : \IZ[i] \to \IZ[/mm] ein -- hier sogar mit Bild [mm] $\IN$. [/mm]

> Wenn du als "Norm" N tatsächlich [mm]N(x+iy)=x^2+y^2[/mm] nehmen
>  willst, dann hat diese den schwerwiegenden Mangel, dass
> sie
>  die von einer "Norm" erwartete Dreiecksungleichung
>
> [mm]\ N(z+w)\le N(z)+N(w)[/mm]  
>
> nicht immer erfüllt !

Bei der Norm von (endlichen) Koerpererweiterungen hat man im allgemeinen gar keinen angeordneten Koerper, insofern kuemmert man sich nicht um die Dreiecksungleichung. :)

Viel wichtiger ist, dass das Bild von [mm]N(\IZ[i])[/mm] in [mm] $\IZ$ [/mm] enthalten ist: damit kann man zahlentheoretische Eigenschaten aus [mm]\IZ[i][/mm] auf Eigenschaften von [mm] $\IZ$ [/mm] zurueckfuehren.

LG Felix


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]