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| Aufgabe | K ein Körper, V und W endlich dimensionale K-VR's und sei [mm] \phi: [/mm] V [mm] \mapsto [/mm] W eine lin. Abb.
(a) Wenn [mm] \phi [/mm] ein Isomorphismus ist, dann ist [mm] \phi^{-1} [/mm] auch eine lin. Abb.
(b) Für jeden UnterVR U [mm] \le [/mm] W ist auch [mm] \phi^{-1}(U) \le [/mm] V ein UnterVR.
(c) Für jede Teilmenge M [mm] \subseteq [/mm] V gilt [mm] \phi(\langleM\rangle) [/mm] = [mm] \langle\phi(M)\rangle
[/mm]
(d) Sei [mm] \phi [/mm] injektiv und M [mm] \subseteq [/mm] V. Wenn [mm] \phi(M) [/mm] lin. unabhg ist, dann ist auch M linear unabhg.
(e) Sei [mm] \phi [/mm] injektiv. Zeigen Sie dass für jeden UVR U [mm] \le [/mm] V gilt: [mm] dim\phi(U) [/mm] = dimU |
Hallo Leute,
weil mir LA schon letztes Jahr soviel Spass gemacht hat, darf ich nun das letzte mal dran. Besonders schwer tue ich mich mit Beweisen. Zum Beispiel die oberen, vielleicht könnt ihr mir irgendwie beibringen wie man darauf kommt.
Also für die a)
Hab ich:
lin. Abb: [mm] \phi: V\mapsto [/mm] W wenn für alle v,v' [mm] \in [/mm] V gilt:
Homogenität: [mm] \phi(k*v) [/mm] = [mm] k\phi(v)
[/mm]
Additivität: [mm] \phi(v) [/mm] + [mm] \phi(v') [/mm] = [mm] \phi(v+v')
[/mm]
und:
Isomorphismus: [mm] \phi: [/mm] V [mm] \mapsto [/mm] W, bijektiv
Beweisen muss ich sowas: [mm] \phi [/mm] ist Isom. [mm] \Rightarrow \phi^{-1} [/mm] lin. Abb.
Tja, irgendwie klar das das so sein könnte wegen der Struktur surjektivität und injektivität aber beweisen.....?
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> K ein Körper, V und W endlich dimensionale K-VR's und sei
> [mm]\phi:[/mm] V [mm]\mapsto[/mm] W eine lin. Abb.
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> (a) Wenn [mm]\phi[/mm] ein Isomorphismus ist, dann ist [mm]\phi^{-1}[/mm]
> auch eine lin. Abb.
> (b) Für jeden UnterVR U [mm]\le[/mm] W ist auch [mm]\phi^{-1}(U) \le[/mm] V
> ein UnterVR.
> (c) Für jede Teilmenge M [mm]\subseteq[/mm] V gilt
> [mm]\phi(\langleM\rangle)[/mm] = [mm]\langle\phi(M)\rangle[/mm]
> (d) Sei [mm]\phi[/mm] injektiv und M [mm]\subseteq[/mm] V. Wenn [mm]\phi(M)[/mm] lin.
> unabhg ist, dann ist auch M linear unabhg.
> (e) Sei [mm]\phi[/mm] injektiv. Zeigen Sie dass für jeden UVR U
> [mm]\le[/mm] V gilt: [mm]dim\phi(U)[/mm] = dimU
> Hallo Leute,
>
> weil mir LA schon letztes Jahr soviel Spass gemacht hat,
> darf ich nun das letzte mal dran. Besonders schwer tue ich
> mich mit Beweisen. Zum Beispiel die oberen, vielleicht
> könnt ihr mir irgendwie beibringen wie man darauf kommt.
>
> Also für die a)
> Hab ich:
>
> lin. Abb: [mm]\phi: V\mapsto[/mm] W wenn für alle v,v' [mm]\in[/mm] V gilt:
> Homogenität: [mm]\phi(k*v)[/mm] = [mm]k\phi(v)[/mm]
> Additivität: [mm]\phi(v)[/mm] + [mm]\phi(v')[/mm] = [mm]\phi(v+v')[/mm]
Hallo,
jetzt schreib doch mal auf, was Du zeigen müßt, wenn Du die Linearität von [mm] \Phi^{-1} [/mm] beweisen möchtest.
> Isomorphismus: [mm]\phi:[/mm] V [mm]\mapsto[/mm] W, bijektiv
Das brauchst Du. Aufgrund der surjektivität weißt Du, daß es zu jedem [mm] W\in [/mm] W ein v in V gibt mit [mm] w=\phi(v) [/mm] und für w' entsprechend.
Versuch mal, wie weit Du nun kommst.
Gruß v. Angela
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Ja ich glaub das hat mir auf die Srpünge geholfen:
(a) Aus der Surjektivität folgt [mm] w=\phi(v):
[/mm]
[mm] \phi(kw)^{-1} [/mm] = [mm] \phi(k\phi(v))^{-1} [/mm] = [mm] \phi(\phi(kv))^{-1} [/mm] da kv [mm] \in [/mm] W folgt [mm] \phi(kw)^{-1}
[/mm]
Das stimmt noch nicht ganz ...
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> Ja ich glaub das hat mir auf die Srpünge geholfen:
Hallo,
das freut mich.
>
> (a)
Sei [mm] w\in [/mm] W und [mm] k\in [/mm] K.
> Aus der Surjektivität folgt
es gibt ein [mm] v\in [/mm] V mit
> [mm]w=\phi(v):[/mm]
Also ist
> [mm]\phi^\red{{-1}}(kw)[/mm] = [mm]\phi^\red{{-1}}(k\phi(v))[/mm] = [mm]\phi^\red{{-1}}(\phi(kv))[/mm]
(denn [mm] \phi [/mm] ist linear)
=kv denn [mm] \phi^{-1} [/mm] ist Umkehrfunktion von [mm] \phi
[/mm]
= [mm] k\phi^{-1}(w) [/mm] denn [mm] \phi^{-1} [/mm] ist Umkehrfunktion von [mm] \phi.
[/mm]
Entsprechend jetzt die Summe.
Entscheidend bei diesen kleinen Beweisen ist, daß man in der Lage ist, die Definitionen ganz genau hinzuschreiben und sich vor Beweisbeginn klarmacht, was lt. Definition zu zeigen ist.
Gruß v. Angela
P.S.: Hier ist ein Kollege von Dir am Werke.
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> > Ja ich glaub das hat mir auf die Srpünge geholfen:
>
> Hallo,
>
> das freut mich.
>
> >
> > (a)
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> Sei [mm]w\in[/mm] W und [mm]k\in[/mm] K.
> > Aus der Surjektivität folgt
>
> es gibt ein [mm]v\in[/mm] V mit
>
> > [mm]w=\phi(v):[/mm]
>
> Also ist
> > [mm]\phi^\red{{-1}}(kw)[/mm] = [mm]\phi^\red{{-1}}(k\phi(v))[/mm] =
> [mm]\phi^\red{{-1}}(\phi(kv))[/mm]
> (denn [mm]\phi[/mm] ist linear)
>
> =kv denn [mm]\phi^{-1}[/mm] ist Umkehrfunktion von [mm]\phi[/mm]
>
> = [mm]k\phi^{-1}(w)[/mm] denn [mm]\phi^{-1}[/mm] ist Umkehrfunktion von
> [mm]\phi.[/mm]
>
> Entsprechend jetzt die Summe.
Top! Okey versuche das mit der Summe zu machen. Ist der letzte Schritt so in Ordnung oder hab ich was übersrpungen?
[mm] \varphi^{-1}(v')+\varphi^{-1}(u') [/mm] = [mm] \varphi^{-1}(\varphi(v))+\varphi^{-1}(\varphi(u)) [/mm] = v + u = [mm] \varphi^{-1}(v'+u')
[/mm]
> P.S.: Hier ist ein Kollege von Dir am
> Werke.
Danke, mir gehts nicht um die Punkte die habe ich schon letztes Jahr erreicht, daher mach ich hier einen längeren Topic raus um die Beweise durchzugehen.
beim Teil (b)
Beim Untervektorraum gilt eigentlich das gleiche wie bei einer lin.Abb. dazu kommt noch nicht Null.
- Abgeschlossenheit bzgl. Addition und skalarer Multiplikation, nicht Null.
aber [mm] \varphi^{-1}(U) [/mm] find ich schon komisch, was soll denn eine Menge im Funktionsargument?
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> > > (a)
> >
> > Sei [mm]w\in[/mm] W und [mm]k\in[/mm] K.
> > > Aus der Surjektivität folgt
> >
> > es gibt ein [mm]v\in[/mm] V mit
> >
> > > [mm]w=\phi(v):[/mm]
> >
> > Also ist
> > > [mm]\phi^\red{{-1}}(kw)[/mm] = [mm]\phi^\red{{-1}}(k\phi(v))[/mm] =
> > [mm]\phi^\red{{-1}}(\phi(kv))[/mm]
> > (denn [mm]\phi[/mm] ist linear)
> >
> > =kv denn [mm]\phi^{-1}[/mm] ist Umkehrfunktion von [mm]\phi[/mm]
> >
> > = [mm]k\phi^{-1}(w)[/mm] denn [mm]\phi^{-1}[/mm] ist Umkehrfunktion von
> > [mm]\phi.[/mm]
> >
> > Entsprechend jetzt die Summe.
> Top! Okey versuche das mit der Summe zu machen. Ist der
> letzte Schritt so in Ordnung
Hallo,
die letzte Gleichheit kommt zu schnell. Ich kann das nicht nachvollziehen.
Vielleicht arbeitest Du Dich hier mal von [mm] $\varphi^{-1}(v'+u')$ [/mm] ausgehend vor bis v+u.
> oder hab ich was
> übersrpungen?
>
> [mm]\varphi^{-1}(v')+\varphi^{-1}(u')[/mm] =
> [mm]\varphi^{-1}(\varphi(v))+\varphi^{-1}(\varphi(u))[/mm] = v + u =
> [mm]\varphi^{-1}(v'+u')[/mm]
Gruß v. Angela
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> > > > > (b) Für jeden UnterVR U $ [mm] \le [/mm] $ W ist auch $ [mm] \phi^{-1}(U) \le [/mm] $ V ein UnterVR.
> beim Teil (b)
>
> Beim Untervektorraum gilt eigentlich das gleiche wie bei
> einer lin.Abb.
???
> dazu kommt noch nicht Null.
> - Abgeschlossenheit bzgl. Addition und skalarer
> Multiplikation, nicht Null.
Ja.
>
> aber [mm]\varphi^{-1}(U)[/mm] find ich schon komisch, was soll denn
> eine Menge im Funktionsargument?
Oh weh, oh weh...
Das ist keine "Menge im Funktionsargument":
[mm] \varphi^{–1}(U) [/mm] ist das Urbild von U unter der Abbildung [mm] \varphi.
[/mm]
Wie das definiert ist, solltest Du mal schleunigst nachschlagen. Und aufschreiben.
Als nächstes notierst Du die drei Dinge, die Du für die Unterraumeigenschaft von [mm] \varphi^{–1}(U) [/mm] zeigen mußt.
Und dann kannst Du versuchen, zu beweisen.
Merke: die Definitionen sind das A und O.
Wenn die nicht klar sind, sondern nur eine esoterische Ahnung davon besteht, was sich dahinter verbergen mag, können Beweise nicht gelingen.
Gruß v. Angela
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