Wurzelintegration < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Sa 14.01.2012 | | Autor: | Phnix |
| Aufgabe | Berechne folgendes unbestimmtes Integral
[mm] \integral \wurzel{1+(2x)^2} [/mm] dx |
In der Regel würde ich hier Substitution durchführen, aber hilft nicht. Steh grade neben der Spur.
Ich danke für eure Antwort.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo Phnix,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Berechne folgendes unbestimmtes Integral
>
> [mm]\integral \wurzel{1+(2x)^2}[/mm] dx
>
> In der Regel würde ich hier Substitution durchführen,
> aber hilft nicht. Steh grade neben der Spur.
>
Hier hilft die Substitution [mm]2x=\sinh\left(t\right)[/mm]
> Ich danke für eure Antwort.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Sa 14.01.2012 | | Autor: | Phnix |
Wieso hillft dort der sinh (t)?
Wenn ich nun substituiere:
2x= sinh(t)
2 =sinh(t)´
[mm] \bruch{dt}{dx}=2 \Rightarrow [/mm] dx=0,5 dz
[mm] \integral \wurzel{1+sinh^2(t)}+\bruch{1}{2} [/mm] dt
Nun wie weiter?
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Hallo
> Wieso hillft dort der sinh (t)?
>
> Wenn ich nun substituiere:
>
> 2x= sinh(t)
> 2 =sinh(t)´
> [mm]\bruch{dt}{dx}=2 \Rightarrow[/mm] dx=0,5 dz
>
Ich seh grad nicht, warum du die Ableitung von sinh weglässt
Es gilt: 2dx=sinh'(t)dt <=> [mm] dx=\bruch{cosh(t)*dt}{2}
[/mm]
Nun ins Integral einsetzen
[mm] =>\integral_{}^{}\wurzel{1+sinh(t)^2}*\bruch{cosh(t)*dt}{2}
[/mm]
Nun gibt es die Identität [mm] cosh(x)^2-sinh(x)^2=1
[/mm]
Forme die um, setze sie ein und guck dann mal weiter.
Gruß
TheBozz-mismo
> [mm]\integral \wurzel{1+sinh^2(t)}+\bruch{1}{2}[/mm] dt
>
> Nun wie weiter?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Sa 14.01.2012 | | Autor: | Phnix |
[mm] =>\integral_{}^{}\wurzel{1+sinh(t)^2}*\bruch{cosh(t)*dt}{2}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}\wurzel{cosh^2(t)-sinh^2(t)+sinh(t)^2}*\bruch{cosh(t)*dt}{2}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}cosh(t)-sinh(t)+sinh(t)*\bruch{cosh(t)*dt}{2}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}cosh(t)*\bruch{cosh(t)*dt}{2}
[/mm]
[mm] \integral \bruch{1}{2}* cosh^2(t) [/mm] dt
[mm] \bruch{1}{2}\integral (2x)^2 [/mm] dx
[mm] \bruch{1}{2}*\bruch{4}{3}x*^3 [/mm] +c
DAnn müsste das jetzt stimmen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 Sa 14.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
>
> [mm]=>\integral_{}^{}\wurzel{1+sinh(t)^2}*\bruch{cosh(t)*dt}{2}[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}\wurzel{cosh^2(t)-sinh^2(t)+sinh(t)^2}*\bruch{cosh(t)*dt}{2}[/mm]
Wie ziehst du da die Wurzel? da sich schon vorher die [mm] sinh^2 [/mm] wegheben ist das Ergebnis zwar richtig, aber [mm] \wurzel{a+b}=\wurzel{a}+\wurzel{b} [/mm] ist schrecklich! direkt [mm] :1+sinh(t)^2=cosh^2(t)
[/mm]
> [mm]\integral_{}^{}cosh(t)-sinh(t)+sinh(t)*\bruch{cosh(t)*dt}{2}[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}cosh(t)*\bruch{cosh(t)*dt}{2}[/mm]
>
> [mm]\integral \bruch{1}{2}* cosh^2(t)[/mm] dt
jetzt integrieren , wie kommst du auf die nächste Zeile, vergleich mal mit deinem ausgangsIntegral dann steht da
[mm] \bruch{1}{2}*(2x)^2 =\wurzel{1+2x^2} [/mm] glaubst du das wirklich?
> [mm]\bruch{1}{2}\integral (2x)^2[/mm] dx
>
> [mm]\bruch{1}{2}*\bruch{4}{3}x*^3[/mm] +c
>
> DAnn müsste das jetzt stimmen?
Nee
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Sa 14.01.2012 | | Autor: | Phnix |
[mm] \bruch{1}{2}\integral cosh^2(t) [/mm] dt
wenn ich jetzt nicht resubtieren darf, dann würede ich jetzt mit der partiellen Integration es probieren.
[mm] \bruch{1}{2}\integral [/mm] cosh(t)+cosh(t) dt = [mm] sinh(t)*cosh(t)-cosh(t)*sinh(t)-\integral [/mm] cosh(t)+cosh(t) dt
[mm] \integral [/mm] cosh(t)+cosh(t) dt [mm] =\bruch{2}{3} [/mm] sinh(t)*cosh(t)-cosh(t)*sinh(t)
nun weiß ich schon wieder nicht wie ich weiter machen soll?
Auf die nächste Zeile bin ich gekommen, weil ich dort wieder resubstiert habe. Anscheinend darf ich da es dann noch nicht.
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Hallo Phnix,
> [mm]\bruch{1}{2}\integral cosh^2(t)[/mm] dt
>
> wenn ich jetzt nicht resubtieren darf, dann würede ich
> jetzt mit der partiellen Integration es probieren.
>
> [mm]\bruch{1}{2}\integral[/mm] cosh(t)+cosh(t) dt =
> [mm]sinh(t)*cosh(t)-cosh(t)*sinh(t)-\integral[/mm] cosh(t)+cosh(t)
> dt
>
> [mm]\integral[/mm] cosh(t)+cosh(t) dt [mm]=\bruch{2}{3}[/mm]
> sinh(t)*cosh(t)-cosh(t)*sinh(t)
>
> nun weiß ich schon wieder nicht wie ich weiter machen
> soll?
>
>
Die erste partielle Integration geht so:
[mm]\integral_{}^{}{cosh(t)*cosh(t) \ dt}=\sinh\left(t\right)*\cosh\left(t\right)-\integral_{}^{}{}{\sinh\left(t\right)*\sinh\left(t\right) \ dt}[/mm]
Ersetze den Integranden im rechtsstehenden Integral gemäß
[mm]\cosh^{2}\left(t\right)-\sinh^{2}\left(t\right)=1[/mm]
> Auf die nächste Zeile bin ich gekommen, weil ich dort
> wieder resubstiert habe. Anscheinend darf ich da es dann
> noch nicht.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Sa 14.01.2012 | | Autor: | Phnix |
>
> [mm]\integral_{}^{}{cosh(t)*cosh(t) \ dt}=\sinh\left(t\right)*\cosh\left(t\right)-\integral_{}^{}{}{\sinh\left(t\right)*\sinh\left(t\right) \ dt}[/mm]
>
> Ersetze den Integranden im rechtsstehenden Integral
> gemäß
>
> [mm]\cosh^{2}\left(t\right)-\sinh^{2}\left(t\right)=1[/mm]
DAs verstehe ich jetzt nicht was ich machen soll?
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Hallo Phnix,
> >
> > [mm]\integral_{}^{}{cosh(t)*cosh(t) \ dt}=\sinh\left(t\right)*\cosh\left(t\right)-\integral_{}^{}{}{\sinh\left(t\right)*\sinh\left(t\right) \ dt}[/mm]
>
> >
> > Ersetze den Integranden im rechtsstehenden Integral
> > gemäß
> >
> > [mm]\cosh^{2}\left(t\right)-\sinh^{2}\left(t\right)=1[/mm]
>
>
> DAs verstehe ich jetzt nicht was ich machen soll?
>
Ersetze
[mm]\sinh^{2}\left(t\right)=\cosh^{2}\left(t\right)-1[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Sa 14.01.2012 | | Autor: | Phnix |
[mm] \bruch{1}{2}[/mm] [mm]\integral_{}^{}{cosh(t)*cosh(t) \ dt}=\sinh\left(t\right)*\cosh\left(t\right)-\integral_{}^{}{}{\sinh\left(t\right)*\sinh\left(t\right) \ dt}[/mm]
und das darf ich dann auch auf die andere Seite packen trotz der 1?
und zusammen fassen? Wieso?
Könntest du mir mal bitte eine komplexere Antwort geben?
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Hallo
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] [mm]\integral_{}^{}{cosh(t)*cosh(t) \ dt}=\sinh\left(t\right)*\cosh\left(t\right)-\integral_{}^{}{}{\sinh\left(t\right)*\sinh\left(t\right) \ dt}[/mm]
>
Wo kommt denn der Bruch [mm] \bruch{1}{2} [/mm] her?
Also es gilt ja
[mm]\integral_{}^{}{cosh(t)*cosh(t) \ dt}=\sinh\left(t\right)*\cosh\left(t\right)-\integral_{}^{}{}{\sinh\left(t\right)*\sinh\left(t\right) \ dt}[/mm]
Jetzt ersetzt man [mm] sinh^2(t)=cosh^2(t)-1
[/mm]
=>$ [mm] \integral_{}^{}{cosh(t)\cdot{}cosh(t) \ dt}=\sinh\left(t\right)\cdot{}\cosh\left(t\right)-\integral_{}^{}{}{cosh^2(t)-1 \ dt} [/mm] $
Jetzt das Integral trennen und dann plus das Integral rechnen.
Versuchs mal.
> und das darf ich dann auch auf die andere Seite packen
> trotz der 1?
> und zusammen fassen? Wieso?
>
> Könntest du mir mal bitte eine komplexere Antwort geben?
>
>
Gruß
TheBozz-mismo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Sa 14.01.2012 | | Autor: | Phnix |
jo darf nicht drüben stehen
[mm]\integral_{}^{}{cosh(t)*cosh(t) \ dt}=\bruch{1}{2}(\sinh\left(t\right)*\cosh\left(t\right)-\integral_{}^{}{}{\sinh\left(t\right)*\sinh\left(t\right) dt)[/mm]
wenn mich nicht alles täuscht muss es sogar so stehen?
Geht das jetzt immer noch? Der bruch kommt aus der Substitution.
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Hallo Phnix,
> jo darf nicht drüben stehen
>
>
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> [mm]\integral_{}^{}{cosh(t)*cosh(t) \ dt}=\bruch{1}{2}(\sinh\left(t\right)*\cosh\left(t\right)-\integral_{}^{}{}{\sinh\left(t\right)*\sinh\left(t\right) dt)[/mm]
>
Dann muss hier aber stehen:
[mm]\blue{\bruch{1}{2}}\integral_{}^{}{cosh(t)*cosh(t) \ dt}=\bruch{1}{2}(\sinh\left(t\right)*\cosh\left(t\right)-\integral_{}^{}{}{\sinh\left(t\right)*\sinh\left(t\right) dt)[/mm]
> wenn mich nicht alles täuscht muss es sogar so stehen?
> Geht das jetzt immer noch? Der bruch kommt aus der
> Substitution.
>
Sicher geht das.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Sa 14.01.2012 | | Autor: | Phnix |
irgendwie komm ich komplett nicht weiter. mag sich jemand die Mühe machen und die Aufgabe einmal mit kompletten Lösungsweg aufschreiben, bitte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 Sa 14.01.2012 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
hallo
$ \integral_{}^{}{cosh(t)\cdot{}cosh(t) \ dt}=(\sinh\left(t\right)\cdot{}\cosh\left(t\right)-\integral_{}^{}{}{\sinh\left(t\right)\cdot{}\sinh\left(t\right) dt) $
ist richtig
jetzt hinten ersetzen:$ \integral_{}^{}{cosh(t)\cdot{}cosh(t) \ dt}=(\sinh\left(t\right)\cdot{}\cosh\left(t\right)-\integral_{}^{}{}{\cosh\left(t\right)\cdot{}\cosh\left(t\right) dt)+\integral{1dt}
jetzt auf beiden _seiten der Gl. \integral_{}^{}{cosh(t)\cdot{}cosh(t) \ dt} addieren.
dann steht links 2*\integral_{}^{}{cosh(t)\cdot{}cosh(t) \ dt} rechts kannst du selbst
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Sa 14.01.2012 | | Autor: | Phnix |
Wo verarbeitest du den von der Substituion das [mm] \bruch{dt}{2}=\bruch{1}{2}*dt
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:30 So 15.01.2012 | | Autor: | leduart |
hallo
ich hab dir nur die Lösung von
[mm] \integral{cosh^2(t)dt} [/mm] hingeschrieben, denn mir 0.5 das Endergebnis zu mult. ist ja nicht sooo schwiereig.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:33 So 15.01.2012 | | Autor: | Phnix |
[mm] 2*\integral_{}^{}cosh(t)\cdot{}cosh(t) =sinh(t)*cosh(t)+\integral [/mm] 1
[mm] 2*\integral_{}^{}cosh(t)\cdot{}cosh(t) [/mm] =sinh(t)*cosh(t)-t
so und wie mach ich nun die resubtitution? ich hatte ja sinh(t) = 2x
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:06 So 15.01.2012 | | Autor: | leduart |
hallo
> [mm]2*\integral_{}^{}cosh(t)\cdot{}cosh(t) =sinh(t)*cosh(t)+\integral[/mm]
> 1
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> [mm]2*\integral_{}^{}cosh(t)\cdot{}cosh(t)[/mm] =sinh(t)*cosh(t)-t
>
> so und wie mach ich nun die resubtitution? ich hatte ja
> sinh(t) = 2x
daraus t=Arsinh(2x) und [mm] cosht=1+(2x)^2
[/mm]
Grusss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Mo 16.01.2012 | | Autor: | Phnix |
[mm] cosht=1+(2x)^2
[/mm]
Wie kommst du darauf?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Mo 16.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]cosht=1+(2x)^2[/mm]
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> Wie kommst du darauf?
Zunächst ist sinh(t)=2x, also, wegen [mm] cosh^2(t)-sinh^2(t)=1,
[/mm]
[mm] (2x)^2= sinh^2(t)= cosh^2(t)-1
[/mm]
FRED
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Ich will zum vorgeschlagenen Lösungsweg eine Alternative anbieten. Wenn du über den andern Weg zum Ziel gekommen bist, kannst du es dir ja einmal anschauen. Es ist nämlich gar nicht nötig, die Substitution bis auf die hyperbolischen Funktionen herunterzubrechen, man kommt mit weniger aus. In
[mm]\sqrt{1 + 4x^2} ~ \mathrm{d}x[/mm]
substituiert man
(1) [mm]x = \frac{1}{4} \left( t - \frac{1}{t} \right) \, , \ \ t \in (0,\infty)[/mm]
Die Ableitung
(2) [mm]\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{4} \left( 1 + \frac{1}{t^2} \right)[/mm]
zeigt, daß die Funktion [mm]t \mapsto x[/mm] streng monoton wächst, und war von [mm]- \infty[/mm] bis [mm]\infty[/mm], wie die Grenzübergänge [mm]t \to 0[/mm] bzw. [mm]t \to \infty[/mm] zeigen. Damit erreicht man mit [mm]t \mapsto x[/mm] jeden möglichen [mm]x[/mm]-Wert, und die Beziehung ist umkehrbar.
Und jetzt geht es los:
[mm]1 + 4x^2 = 1 + \frac{1}{4} \left( t^2 + \frac{1}{t^2} - 2 \right) = \frac{1}{4} \left( t^2 + \frac{1}{t^2} + 2 \right) = \left( \frac{1}{2} \left( t + \frac{1}{t} \right) \right)^2[/mm]
Und nach Wurzelziehen:
(3) [mm]\sqrt{1 + 4x^2} = \frac{1}{2} \left( t + \frac{1}{t} \right)[/mm]
Jetzt alles nach (2),(3) zusammensetzen:
[mm]\sqrt{1 + 4x^2} ~ \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \left( t + \frac{1}{t} \right) \cdot \frac{1}{4} \left( 1 + \frac{1}{t^2} \right) ~ \mathrm{d}t[/mm]
Das ist aber ein simpler rationaler Ausdruck, der sich nach Ausmultiplizieren leicht integrieren läßt. Später bei der Resubstitution hilft zum Teil die dritte binomische Formel. Mit (1) und (3) folgt:
[mm]t^2 - \frac{1}{t^2} = \left( t - \frac{1}{t} \right) \left( t + \frac{1}{t} \right) = 4x \cdot 2 \sqrt{1 + 4x^2}[/mm]
Ganz kommt man aber um das Umkehren von [mm]t \mapsto x[/mm] zu [mm]x \mapsto t[/mm] nicht herum.
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