Substitution geht schief < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Mi 27.06.2007 | | Autor: | TimBuktu |
hey, bin auf was verwirrendes gestoßen und weiß nicht weiter...
es gilt: [mm] \integral_{0}^{2\pi}{sin^2(x) dx}=\pi
[/mm]
Das Integral ist einfach und vermutlich kennts jeder eh auswendig; aber jetzt hab ich mal substituiert und dann passt nix mehr...
[mm]u:=sin(x)[/mm], also [mm]\bruch{du}{dx}=cos(x)=cos(arcsin(u))=\wurzel{1-u^2}[/mm]
Das Integral wird dann:
[mm]\integral_{u(0)}^{u(2\pi)}{\bruch{u^2}{\wurzel{1-u^2}}du}[/mm]
Nun sind aber [mm]u(0)[/mm] und [mm]u(2\pi)[/mm] beide gleich eins, das heißt das Integral wird null. Wie kann das sein. Ich bedanke mich. Habs nirgends anders gefragt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 Mi 27.06.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
das liegt daran, dass sin auf [0,2pi] nicht bijektiv ist, daher sind beide Grenzen gleich. Du musst das Integral additiv aufspalten und dann entsprechende Umkehrfunktionen für sin verwenden. arcsin hat ja noch verschiedene Nebenzweige.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Mi 27.06.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
substituieren ist eine Möglichkeit, eine weitere Möglichkeit ist folgende Rekursionsformel:
[mm] \integral{sin^{k}(x) dx}=-\bruch{1}{k}sin^{k-1}(x)*cos(x)+\bruch{k-1}{k}*(\integral{sin^{k-2}(x) dx})
[/mm]
In deinem Fall
[mm] \integral{sin^{2}(x) dx}=-\bruch{1}{2}sin(x)*cos(x)+\bruch{1}{2}*(\integral{sin^{0}(x) dx})
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{2}sin(x)*cos(x)+\bruch{1}{2}*x
[/mm]
Ich komme mit dieser Formel besser zurecht. Es wird vor allem für große k einfacher, sprich z.B.: [mm] sin^{4}(x).
[/mm]
Vielleicht hilft sie dir ja auch 
MfG
barsch
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