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| Aufgabe | Berechnen Sie die Stammfunktion von:
f(x) = [mm] \bruch{x-2}{x^{3}+2x^{2}+x} [/mm] |
Hallo erstmal.
Ich komm bei dieser Aufgabe irgendwie nicht weiter. Ich habe versucht die Funktion mittels Partialbruchzerlegung zu vereinfachen, da scheitere ich aber gerade kläglich dran.
Habe es der Art vereinfacht:
f(x) = [mm] \bruch{x-2}{x^{3}+2x^{2}+x} [/mm] = [mm] \bruch{-2}{x} [/mm] + [mm] \bruch{B}{x+1} [/mm] + [mm] \bruch{3}{(x+1)^{2}}.
[/mm]
Dies hergeleitet aus:
f(x) = x-2 = [mm] A(x+1)^{2} [/mm] + B(x(x+1)) + Cx
dann durch einsetzen von x = 0 => A = -2 und durch x = -1 => C = 3
Wie man sieht komme ich nicht auf B.
Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben wie ich auf B komme, bzw ob ich die Aufgabe doch anders besser, soll heißen einfacher/ schneller löse?!
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Hallo DDSSN,
> Berechnen Sie die Stammfunktion von:
> f(x) = [mm]\bruch{x-2}{x^{3}+2x^{2}+x}[/mm]
> Hallo erstmal.
>
> Ich komm bei dieser Aufgabe irgendwie nicht weiter. Ich
> habe versucht die Funktion mittels Partialbruchzerlegung zu
> vereinfachen, da scheitere ich aber gerade kläglich dran.
>
> Habe es der Art vereinfacht:
>
> f(x) = [mm]\bruch{x-2}{x^{3}+2x^{2}+x}[/mm] = [mm]\bruch{-2}{x}[/mm] +
> [mm]\bruch{B}{x+1}[/mm] + [mm]\bruch{3}{(x+1)^{2}}.[/mm]
>
> Dies hergeleitet aus:
>
> f(x) = x-2 = [mm]A(x+1)^{2}[/mm] + B(x(x+1)) + Cx ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> dann durch einsetzen von x = 0 => A = -2 und durch x = -1
> => C = 3
>
> Wie man sieht komme ich nicht auf B.
>
> Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben wie ich auf B
> komme, bzw ob ich die Aufgabe doch anders besser, soll
> heißen einfacher/ schneller löse?!
Ich halte von dieser Zuhalte- und Einsetzmethode nix.
Hier das generelle Verfahren mittels Koeffizientenvgl.:
Oben steht es richtig!
[mm]x-2=A(x+1)^2+Bx(x+1)+Cx[/mm]
Multipliziere aus ..
[mm]\gdw x-2=Ax^2+2Ax+A+Bx^2+Bx+Cx[/mm]
Sortiere nach Potenzen von x:
[mm]\gdw x-2=(A+B)x^2+(2A+B+C)x+A[/mm]
Nun einen Koeffizientenvgl.
[mm]\gdw \red{0}\cdot{}x^2+\blue{1}\cdot{}x+\green{(-2)}=\red{(A+B)}x^2+\blue{(2A+B+C)}x+\green{A}[/mm]
Damit
(1) [mm]\red{0}=\red{A+B}[/mm]
(2) [mm]\blue{1}=\blue{2A+B+C}[/mm]
(3) [mm]\green{-2}=\green{A}[/mm]
Also [mm]A=-2[/mm]
Dann mit (1) [mm]B=2[/mm] und schließlich mit (2) [mm]2(-2)+2+C=1[/mm], also [mm]C=\ldots[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Vielen Dank für deine Hilfe,
ich werde die Aufgabe gleich nochmal lösen mit dem Vergleichsverfahren. Mir ist jedoch eben auch der Fehler aufgefallen den ich die ganze zeit gemacht habe. War ein kleiner doofer Flüchtigkeitsfehler. Ohne ihn komme ich dann auch auf B = 2.
Trotzdem nochmal Danke.
MfG
Sich
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