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Schnittpunkt zweier Geraden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:24 Do 26.05.2011
Autor: Paivren

Meine zweite und hoffentlich letzte Frage heute:

Ich habe zwei Geraden im 3D-Raum:
g1: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ -3} [/mm] + r * [mm] \vektor{1 \\ -3 \\ -2} [/mm]

g2: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ -7 \\ 1} [/mm] + s * [mm] \vektor{-3 \\ 9 \\ -6} [/mm]

Nun setze ich sie gleich und stelle das Gleichungssystem in Matrizenform auf:

[mm] \pmat{ 1 & 3 & 2 \\ -3 & -9 & -6 \\ 2 & 6 & 4 } [/mm]

Nach dem Gauß-Verfahren umgeformt:

[mm] \pmat{ 1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]

Jetzt ist der Rang der Koeffizientenmatrix = Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix, also ist das System lösbar.
Da es aber zwei Unbekannte gibt, gibt es unendlich viele Lösungen.

r=2-3s
mit s [mm] \in \IR [/mm]

Heißt das jetzt, dass die Geraden unendlich viele gemeinsame Punkte haben, also quasi beide ein und dieselbe sind ?__?
Oder hab ich mich verrechnet ~~?

mfG!


        
Bezug
Schnittpunkt zweier Geraden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:55 Do 26.05.2011
Autor: abakus


> Meine zweite und hoffentlich letzte Frage heute:
>  
> Ich habe zwei Geraden im 3D-Raum:
>  g1: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ -1 \\ -3}[/mm] + r * [mm]\vektor{1 \\ -3 \\ -2}[/mm]
>  
> g2: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ -7 \\ 1}[/mm] + s * [mm]\vektor{-3 \\ 9 \\ -6}[/mm]
>  
> Nun setze ich sie gleich und stelle das Gleichungssystem in
> Matrizenform auf:
>  
> [mm]\pmat{ 1 & 3 & 2 \\ -3 & -9 & -6 \\ 2 & 6 & 4 }[/mm]
>  
> Nach dem Gauß-Verfahren umgeformt:
>  
> [mm]\pmat{ 1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>  
> Jetzt ist der Rang der Koeffizientenmatrix = Rang der
> erweiterten Koeffizientenmatrix, also ist das System
> lösbar.
>  Da es aber zwei Unbekannte gibt, gibt es unendlich viele
> Lösungen.
>  
> r=2-3s
>  mit s [mm]\in \IR[/mm]
>  
> Heißt das jetzt, dass die Geraden unendlich viele
> gemeinsame Punkte haben, also quasi beide ein und dieselbe
> sind ?__?
>  Oder hab ich mich verrechnet ~~?

Hallo,
wenn die Geraden unendlich viele Punkte gemeinsam hätten, müssten ihre Richtungsvektoren ein Vielfaches voneinander sein. Das ist aber nicht der Fall. Einige Koordinaten sind das 3-fache, andere das (-3)- fache voneinander. Das passt nicht zusammen. Sicher hast du Vorzeichenfehler in deiner Rechnung.
Gruß Abakus

>  
> mfG!
>  


Bezug
                
Bezug
Schnittpunkt zweier Geraden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:11 Do 26.05.2011
Autor: Paivren

Oh, ich hab beim Abschreiben einen Fehler gemacht ~~
Die untere Koordinate im oberen Vektor ist nicht 2, sondern -2; dann passts ja!

Danke =)

Bezug
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