Scharkurven Extrema auf Gerade < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Di 25.01.2005 | | Autor: | Odie |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi,
Ich hab da eine Frage:
Wie kann ich bei einer Scharkurve zeigen, dass ein Extremum für jeden Parameter auf einer Geraden liegen (und wie lautet dann diese Gerade?)
Ich weiß, dass ich das eigentlich wissen sollte aber ich kann mich einfach nicht erinnern und finden kann ich zu dem thema auch nirgendwo etwas (weil ich garnich weiß nach was ich eigentlich suchen soll..)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Di 25.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Odie,
auch Dir ein ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> Wie kann ich bei einer Scharkurve zeigen, dass ein
> Extremum für jeden Parameter auf einer Geraden liegen (und
> wie lautet dann diese Gerade?)
Hast Du denn vielleicht eine konkrete Funktion / Aufgabe?
Dann läßt sich das nämlich doch um einiges einfacher erläutern ...
Grundsätzlich sollte bei dem x-Wert des Extremums noch der Parameter vorhanden sein.
Dieser x-Wert [mm] $x_E [/mm] = ...$ wird dann in die Funktionsgleichung eingesetzt und dann sollte z.B. eine Geradengleichung entstehen ... nach dem Parameter (z.B. $k$) umgestellt, so daß man erhält: $k = k(x) = ...$
Dieser ermittelte Wert für $k$ wird anschließend in den Funktionswert (= y-Wert) des Extremwertes eingesetzt. Man erhält ein $y = y(x) = ...$ (ohne k), dies ist dann die sog. Ortskurve des Extrempunktes.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Di 25.01.2005 | | Autor: | Odie |
die funktion ist [mm] f_{k}(x)= [/mm] x(ln x - k)
als Minimum hab ich den Punkt ( [mm] e^{k+1}/e^{k+1}) [/mm] errechnet (hoffe der stimmt...)
wenn ich dieses x in die Funktion einsetz bekomm ich doch nur den y-wert...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Di 25.01.2005 | | Autor: | Loddar |
N'Abend Odie!
> die funktion ist [mm]f_{k}(x)=[/mm] x(ln x - k)
> als Minimum hab ich den Punkt ( [mm]e^{k+1}/e^{k+1})[/mm] errechnet (hoffe der stimmt...)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Ich habe erhalten (bitte überprüfen): $T [mm] \left( \ e^{k\red{-}1} \ | \ \red{-}e^{k\red{-}1} \ \right)$
[/mm]
Ups, hier habe ich mich nicht ganz richtig ausgedrückt (ich werde das auch oben ändern):
Den x-Wert für [mm] $x_T [/mm] = [mm] e^{k-1}$ [/mm] mußt Du umstellen nach dem Parameter $k$ und diesen Wert $k = k(x)$ in den Funktionswert (= y-Wert) des Tiefpunktes einsetzen.
Dann erhältst Du einen y-Wert als $y = y(x) = ...$ (ohne den Parameter $k$ !!).
Diese Funktion ist dann die sog. "Ortskurve des Tiefpunktes", in unserem Falle eine Gerade.
Versuch' das doch mal und poste hier Deine Ergebnisse ...
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:48 Di 25.01.2005 | | Autor: | Odie |
habs nochmal nachgerechnet, $ T [mm] \left( \ e^{k-1} \ | \ -e^{k-1} \ \right) [/mm] $ stimmt wohl.
mit diesem wert bekomme ich für k= (ln [mm] x_{T}) [/mm] + 1
und wenn ich das dann in [mm] f_{k}( x_{T}) [/mm] einsetze komme ich auf eine Ortskurve y = -x
ein plausibles Ergebnis und deshalb dank ich Dir schonmal für die Hilfe ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:17 Di 25.01.2005 | | Autor: | Loddar |
> mit diesem wert bekomme ich für k= (ln [mm]x_{T})[/mm] + 1
> und wenn ich das dann in [mm]f_{k}( x_{T})[/mm] einsetze komme ich
> auf eine Ortskurve $y = -x$
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Das ist auch mein Ergebnis ...
Loddar
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Hallo Odie,
> Wie kann ich bei einer Scharkurve zeigen, dass ein
> Extremum für jeden Parameter auf einer Geraden liegen (und
> wie lautet dann diese Gerade?)
>
> Ich weiß, dass ich das eigentlich wissen sollte aber ich
> kann mich einfach nicht erinnern und finden kann ich zu dem
> thema auch nirgendwo etwas (weil ich garnich weiß nach was
> ich eigentlich suchen soll..)
du suchst die " Ortskurve" der Hoch- oder Tiefpunkte:
Beispiel:
$f(x) = [mm] x^2 [/mm] + kx + 1$ [mm] \Rightarrow [/mm] $f'(x)= 2x+k = 0$ [mm] \Rightarrow $x_E= -\bruch{k}{2}$
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] $E [mm] (-\bruch{k}{2}| 1-\bruch{k^2}{4})$
[/mm]
Hier ist nun das k ziemlich "überflüssig", man "eliminiert" es einfach:
[mm] $x_E= -\bruch{k}{2}$ \Rightarrow [/mm] k = -2x ; eingesetzt in den y-Wert [mm] $1-\bruch{k^2}{4}$ [/mm] ergibt:
$y = 1 - [mm] x^2$ [/mm] bitte nachrechnen!
Damit ist der funktionale Zusammenhang zwischen [mm] x_E [/mm] und [mm] y_E [/mm] beschrieben:
die Extrempunkte wandern für alle $k [mm] \in \IR$ [/mm] auf der angegebenen Kurve.
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