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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:05 Mo 16.01.2012 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Gegeben seien die Matrizen [mm] A=\pmat{ 1 & 3 \\ -2 & 0\\2 & 6 } [/mm] und
[mm] R=\pmat{ 3 & 1 \\ 0 & 7\\0 & 0 }.
[/mm]
Ist R aus einer QR-Zerlegung der Matrix A entstanden?
Begründen Sie Ihre Antwort, ohne die Zerlegung durchzuführen. |
Hallo,
wenn es erlaubt ist (im Bezug auf die Aufgabenstellung) , dann würde ich so argumentieren:
Sei [mm] v:=x-pe_{1} [/mm] mit p= [mm] -sign(x_{1})||x||_{2}.
[/mm]
Mit v und [mm] v^{T} [/mm] wird dann bekannterweise eine Housholdermatrix gebildet.
Die erste Spalte von R muss [mm] p*e_{1} [/mm] sein. D.h [mm] p*e_{1}=\vektor{p \\ 0\\ 0}=
[/mm]
[mm] \vektor{-3\\ 0\\ 0}. [/mm] Der Vektor ist aber nicht gleich der ersten Spalte von R.
Ah ja, ich sehe gerade, dass das Vorzeichen des ersten Koeffizienten von A muss mit dem umgekehrten Vorzeichen des ersten Koeffizient von R gleich sein.
Also , wenn bei A " + " steht , dann muss bei R " - "stehen (und umgekehrt). Das ist wegen der sign-Funktion so.
Damit: R ist nicht aus einer QR-Zerlegung der Matrix A entstanden.
Ist es okay so?
( Ich meine : ich benutze hier nicht die gesamte Housholder-Methode, sondern nur das Wissen, wie die erste Spalte nach der Transformation auszusehen hat.)
Gruss
Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:30 Di 17.01.2012 | | Autor: | wieschoo |
Wenn du eine Matrix A=QR zerlegst, dann gilt auch A=(-Q)(-R). Ich sehe hier eher den Fehler in der 2. Spalte.
gruß
wieschoo
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(Frage) überfällig | | Datum: | 14:08 Di 17.01.2012 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
wir betrachten in der Aufgabenstellung A und R.
Ich sehe da erstmal keine Matrix -Q=:T oder -R=:S
Angenommen , dass wir erstmal noch kein R , sondern nur alleine A haben.
Jetzt möchten wir A "QR zerlegen". Für die erste Spalte [mm] a^{(1)} [/mm] von A gilt dann nach der Transformation von A : [mm] a^{(1)}_{neu}=p*e_{1}.
[/mm]
D.h [mm] sign(a_{11})=-sign(a_{11}_{neu}). a_{11}_{neu} [/mm] ist dann der "erste" Koeffizient der Matrix M , für die A=Q*M für eine Housholder-Matrix Q eine QM-Zerlegung vorliegt.(Ich nehme hier M, damit keine Verwechselung entsteht).
Ich nehme an, dass QR-Zerlegung im Allgemeinen eindeutig ist (Ist es so?).
Also :
wir haben A [mm] \Rightarrow [/mm] A kann eindeutig "QM zerlegt werden" [mm] \Rightarrow sign(a_{11})=-sign(a_{11}_{neu})
[/mm]
Deshalb verstehe ich nicht, wie Du mit T und S argumentierst.(D.h ich verstehe, worauf Du hinaus willst, aber mir ist Deine Argumentation nicht schlüßig. Kannst Du bitte das genauer erklären. Es kann wahrscheinlich sein, dass meine Annahme über die Eindeutigkeit der QM-Zerlegung falsch ist. Wenn es daran liegt, dann ist Sache dann klarer.)
Gruss
Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:15 Di 17.01.2012 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich habe nachgeschaut, dass QR-Zerlegung nicht eindeutig ist.
Damit ist mir klar, warum A auch A= T*S zerlegt werden kann,wenn A=Q*R ist.
Danke Dir für die Antwort !
Gruss
Igor
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(Frage) überfällig | | Datum: | 21:26 Di 17.01.2012 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich sehe nicht, wie man feststellt, dass in der zweiten Spalte von R ein Fehler vorliegt. Kann man das "sofort" ablesen, oder soll man hier eine kleine Rechnung durchführen. Ich wüßte jetzt nicht so genau, was man dazu verwenden kann.
Kannst Du mir bitte einen Tipp geben?
Gruss
Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Do 19.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Do 19.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mi 18.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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