Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:02 Di 21.12.2004 | | Autor: | Nadja |
ich habe hier noch eine Aufgabe zur Potenzreihe mit der ich überhaupt nicht weiterkomme.
Und zwar soll ich zeigen
Sei [mm] a_n [/mm] eine monoton fallende Nullfolge. Dann konvergiert
[mm] \summe_{n=0}^{ \infty} a_n*z^n [/mm] f
für jedes z mit |z |<=1, außer möglicherweise für z=1.
Danke
Nadja
Ich habe diese Frage in keinen anderen Forum gestellt.
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Hallo, Nadja
> ich habe hier noch eine Aufgabe zur Potenzreihe mit der ich
> überhaupt nicht weiterkomme.
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> Und zwar soll ich zeigen
> Sei [mm]a_n[/mm] eine monoton fallende Nullfolge. Dann konvergiert
>
>
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> [mm]\summe_{n=0}^{ \infty} a_n*z^n[/mm] f
>
> für jedes z mit |z |<=1, außer möglicherweise für z=1.
>
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... da es dann eine Minorante zu welcher, außer für z=1 konvergenten Reihe ist?
( wie wär's denn wenn alle [mm] $a_n$ [/mm] konstant wären ? )
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:37 Di 21.12.2004 | | Autor: | Nilez |
Hallo Nadja,
> ich habe hier noch eine Aufgabe zur Potenzreihe mit der ich
> überhaupt nicht weiterkomme.
>
> Und zwar soll ich zeigen
> Sei [mm]a_n[/mm] eine monoton fallende Nullfolge. Dann konvergiert
>
>
>
> [mm]\summe_{n=0}^{ \infty} a_n*z^n[/mm] f
>
> für jedes z mit |z |<=1, außer möglicherweise für z=1.
>
>
> Danke
>
> Nadja
>
> Ich habe diese Frage in keinen anderen Forum gestellt.
>
Es gilt wegen der Voraussetzung an die Folge [mm] a_{n} [/mm]
[mm] (a_{n+1} \le a_{n} [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] (Monotonie) und
[mm] \forall\varepsilon>0 [/mm] gibts ein [mm] N(\varepsilon)\in\IN [/mm] mit [mm] a_{n}<\varepsilon [/mm]
[mm] \forall n\ge N(\varepsilon) [/mm] (Konvergenz)):
[mm] \summe_{n=0}^{ \infty} a_n*z^n\le\summe_{n=0}^{ \infty}z^n [/mm] für fast alle [mm] n\in\IN [/mm] (genauer: [mm] \forall n\ge [/mm] N(1)).
Da die rechte Seite eine geometrische Reihe darstellt, die für |z|<1 konvergiert, konvergiert die Untersuchungsreihe für die besagten z. (Majorantenkriterium)
Für z=1 bleibt ja [mm] \summe_{n=0}^{ \infty}a_{n} [/mm] übrig, was zwar, wegen Summandenfolge gegen 0, die, für die Konvergenz der Reihe, notwendige Bedingung erfüllt, jedoch nicht zwingent konvergiert (siehe harmonische Reihe).
Liebe Grüße,
Nilez
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Mi 22.12.2004 | | Autor: | Burn |
Hallo Nilez,
ich habe dieselbe Aufgabe zu bearbeiten und wollte sie eigentlich genauso beweisen wie du, weil mir diese Lösung sofort ins Auge sprang als ich die Aufgabe sah.
Nur auf dem Aufgabenblatt steht ein Hinweis: Nämlich:
Man schätze [mm] (1-z) \summe_{n}^{m} a_{v} z^{v}[/mm] ab.
Das verstehe ich nicht und ich kann mir aufgrund dieses Hinweises leider niht vorstellen, dass die aufgabe, so wie du sie gelöst hast, richtig ist, oder doch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Mi 22.12.2004 | | Autor: | Nilez |
Hey Burn,
> Nur auf dem Aufgabenblatt steht ein Hinweis:
Also keine Anweisung, oder?
Nämlich:
>
> Man schätze [mm](1-z) \summe_{n}^{m} a_{v} z^{v}[/mm] ab.
>
Was diese v nur machen?
Ich kann mit dem auch nichts anfangen!
> Das verstehe ich nicht und ich kann mir aufgrund dieses
> Hinweises leider niht vorstellen, dass die aufgabe, so wie
> du sie gelöst hast, richtig ist, oder doch?
>
Es gibt ein Kriterium für Konvergenzbestimmung von Reihen durch Faktorzerlegung der Summanden,
da heißt es:
Ist die Teilsummenfolge der Reihe [mm] \summe_{n=0}^{ \infty}a_{n} [/mm] beschränkt und [mm] {b_{n}} [/mm] eine monotone Nullfolge,
so erfüllt [mm] \summe_{n=0}^{ \infty}a_{n}b_{n} [/mm] die Cauchybedingung (konvergiert also in [mm] \IR)
[/mm]
Nichts anderes hab ich angewendet, und mit dem Majorantenkriterium erklärt.
Ich lass mich aber gerne eines Besseren belehren...
Gruß,
Nilez
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