Polynomring (normierte Elem.) < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:26 Di 20.11.2007 | | Autor: | balisto |
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Hallo,
Ich steh mal wieder vor einem Problem:
"Sei R faktorieller Ring mit Quotientenkörper Q, f Element R[X] normiert.
Zeige, dass jeder normierte Faktor g Element Q[X] von f bereits in R[x] liegt."
Ein Quotientenkörper Q von R ist ja ein Körper Q mit einem injektiven Ringhomomorphismus q: R --> K mit r=(qa)(qb)^-1
Wie sieht denn ein Element von K[X] aus? Das es Polynomform haben muss, ist mir klar. Aber was mach ich mit meinem (qa)(qb)^-1? Also wie steht es in Beziehung zu meinem Koeffizienten von meinem f aus dem Polynomring über R?
Und wie sieht überhaupt ein normiertes Element aus einem Polynomring aus? Bedeutet das, dass der Leitkoeffizient 1 ist?
Bin für jede Antwort dankbar!
MfG balisto
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 Mi 21.11.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo balisto
> Ich steh mal wieder vor einem Problem:
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> "Sei R faktorieller Ring mit Quotientenkörper Q, f Element
> R[X] normiert.
> Zeige, dass jeder normierte Faktor g Element Q[X] von f
> bereits in R[x] liegt."
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> Ein Quotientenkörper Q von R ist ja ein Körper Q mit einem
> injektiven Ringhomomorphismus q: R --> K mit
> r=(qa)(qb)^-1
Was ist $r$?
Ein Quotientenkoerper ist ein minimaler solcher Koerper. Also die Elemente aus $K$ sind genau von der Form $a/b$ mit $a, b [mm] \in [/mm] R$, $b [mm] \neq [/mm] 0$ (bzw. wenn man genau sein will, $q(a)/q(b)$).
> Wie sieht denn ein Element von K[X] aus? Das es
> Polynomform haben muss, ist mir klar.
Es sind einfach Polynome, deren Koeffizienten Quotienten von Elementen aus $R$ sind. Also wenn etwa $R = [mm] \IZ$ [/mm] ist, dann ist in $K[x]$ etwa das Polynom [mm] $\frac{3}{2} x^2 [/mm] - [mm] \frac{1}{5} [/mm] x + [mm] \frac{3}{1}$ [/mm] drinnen. (Oder anders gesagt: hier ist $K = [mm] \IQ$.)
[/mm]
> Und wie sieht überhaupt ein normiertes Element aus einem
> Polynomring aus? Bedeutet das, dass der Leitkoeffizient 1
> ist?
Genau, ein Polynom heisst normiert, wenn der Leitkoeffizient 1 ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:37 Mi 21.11.2007 | | Autor: | balisto |
Hey, danke!
Jetzt ist alles klar! Super! =)
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