Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei X ein normierter Raum und sei [mm] (x_{n})_{n\in\IN} \subset [/mm] X eine Folge. Beweisen Sie: Die [mm] (x_{n})_{n\in\IN} [/mm] konvergiert gegen ein x [mm] \in [/mm] X genau dann, wenn jede ihrer Teilfolgen [mm] (x_{\phi(n)})_{n\in\IN} \subset (x_{n})_{n\in\IN} [/mm] gegen x konvergiert. |
Hallo,
für die [mm] „\Rightarrow“ [/mm] Richtung habe ich mir überlegt:
Eine Teilfolge sind ja eine monoton Wachsende Anzahl von Indizes aus der Ursprünglichen Folge sein, also man „pickt“ sich für monoton wachsende Indizes Folgenglieder heraus. Nun kann ich mir doch auch alle Folgenglieder herauspicken, sodass meine Teilfolge definiert ist als die Ursprüngliche Folge.
Damit wäre ja schon gezeigt, dass auch diese Konvergiert.
Meine Fragen dazu:
- Reicht das schon, um den Beweis in die [mm] „\Rightarrow“ [/mm] Richtung abzuschließen, also impliziert das schon, dass JEDE Teilfolge dann gegen ein solches x konvergieren muss?
Wenn ja, wie schreibe ich das mathematisch (penibel=)) korrekt auf? Denn eine Teilfolge ist doch eine Abbildung.
Wäre nett, wenn mir schnell jemand helfen könnte!
Gruß
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Huhu,
> Eine Teilfolge sind ja eine monoton Wachsende Anzahl von
> Indizes aus der Ursprünglichen Folge sein, also man
> „pickt“ sich für monoton wachsende Indizes
> Folgenglieder heraus.
Ja, auch wenn der erste Satz etwas verwirrend ist.
> Nun kann ich mir doch auch alle
> Folgenglieder herauspicken, sodass meine Teilfolge
> definiert ist als die Ursprüngliche Folge.
Ja.
> Damit wäre ja schon gezeigt, dass auch diese Konvergiert.
Ja, diese eine spezielle TF wäre dann sofort konvergent.
> Meine Fragen dazu:
> - Reicht das schon, um den Beweis in die [mm]„\Rightarrow“[/mm]
> Richtung abzuschließen, also impliziert das schon, dass
> JEDE Teilfolge dann gegen ein solches x konvergieren muss?
Hm, ja und nein. Implizieren tut es das natürlich, gezeigt hast du es aber noch nicht.
> Wenn ja, wie schreibe ich das mathematisch (penibel=))
> korrekt auf? Denn eine Teilfolge ist doch eine Abbildung.
Überlege dir, dass [mm] $\phi(n) \ge [/mm] n$ gilt und damit für [mm] $n\ge [/mm] N$ natürlich auch sofort [mm] $\phi(n) \ge [/mm] N$ folgt.
Was sagt dir nun die Grenzwertdefinition?
MFG,
Gono.
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> Überlege dir, dass [mm]\phi(n) \ge n[/mm] gilt und damit für [mm]n\ge N[/mm]
> natürlich auch sofort [mm]\phi(n) \ge N[/mm] folgt.
>
> Was sagt dir nun die Grenzwertdefinition?
Also die Grenzwertdefinition bzw. das Konvergenzkriterium (meintest du das?) sagt doch aus, wenn eine Folge [mm] a_{n} [/mm] gegen einen Grenzwert x konvergiert gilt:
[mm] \forall\varepsilon>0\exists N_{0}(\varepsilon): \forall n\ge N_{0}(\varepsilon): |a_{n}-x|<\varepsilon.
[/mm]
Komme damit aber grade nicht so richtig weiter. Also wenn du sagst, dass dieser Ansatz zwar impliziert, dass dann jede Teilfolge gegen dieses x konvergiert, ich das aber erst noch zeigen muss- wie setze ich an, um das zu zeigen?
Gruß
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Huhu,
> > Überlege dir, dass [mm]\phi(n) \ge n[/mm] gilt und damit für [mm][mm] n\ge [/mm] > Also die Grenzwertdefinition bzw. das Konvergenzkriterium
> (meintest du das?) sagt doch aus, wenn eine Folge [mm]a_{n}[/mm]
> gegen einen Grenzwert x konvergiert gilt:
> [mm]\forall\varepsilon>0\exists N_{0}(\varepsilon): \forall n\ge N_{0}(\varepsilon): |a_{n}-x|<\varepsilon.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Komme damit aber grade nicht so richtig weiter. Also wenn
> du sagst, dass dieser Ansatz zwar impliziert, dass dann
> jede Teilfolge gegen dieses x konvergiert, ich das aber
> erst noch zeigen muss- wie setze ich an, um das zu zeigen?
Naja, in Worten steht da:
Finde zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $N_0$, [/mm] so dass [mm] $|a_n [/mm] - x| < [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle [mm] $n\ge N_0$
[/mm]
Wenn es nun aber für alle [mm] $n\ge N_0$ [/mm] gilt und [mm] $\phi(n) \ge [/mm] n$, so ist doch auch [mm] $\phi(n) \ge N_0$
[/mm]
Was weisst du nun bezüglich [mm] $|a_{\phi(n)} [/mm] - x|$ ?
Und was sagt das über die Kovergenz von [mm] a_{\phi(n)} [/mm] aus?
MFG,
Gono.
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> Huhu,
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> > > Überlege dir, dass [mm]\phi(n) \ge n[/mm] gilt und damit für [mm][mm]n\ge[/mm] > Also die Grenzwertdefinition bzw. das Konvergenzkriterium
> (meintest du das?) sagt doch aus, wenn eine Folge [mm]a_{n}[/mm]
> gegen einen Grenzwert x konvergiert gilt:
> [mm]\forall\varepsilon>0\exists N_{0}(\varepsilon): \forall n\ge N_{0}(\varepsilon): |a_{n}-x|<\varepsilon.[/mm]
> Komme damit aber grade nicht so richtig weiter. Also wenn
> du sagst, dass dieser Ansatz zwar impliziert, dass dann
> jede Teilfolge gegen dieses x konvergiert, ich das aber
> erst noch zeigen muss- wie setze ich an, um das zu zeigen?
Naja, in Worten steht da:
Finde zu jedem [mm]\varepsilon > 0[/mm] ein [mm]N_0[/mm], so dass [mm]|a_n - x| < \varepsilon[/mm] für alle [mm]n\ge N_0[/mm]
Wenn es nun aber für alle [mm]n\ge N_0[/mm] gilt und [mm]\phi(n) \ge n[/mm], so ist doch auch [mm]\phi(n) \ge N_0[/mm]
Was weisst du nun bezüglich [mm]|a_{\phi(n)} - x|[/mm] ?
Und was sagt das über die Kovergenz von [mm]a_{\phi(n)}[/mm] aus?
Ich würde dann so argumentieren: Wenn es für alle [mm] \ge N_{0} [/mm] gilt, dann auch für jedes [mm] {\phi(n)} \ge N_{0} \forall [/mm] n(Worauf du grade hingewiesen hast), also folgt doch daraus, dass [mm] |a_{\phi(n)} [/mm] - [mm] x|<\varepsilon \forall n\ge N_{0}? [/mm] Gilt diese direkte Folgerung, oder muss man das auch noch irgnedwie begründen?
Gruß
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Huhu,
> Ich würde dann so argumentieren: Wenn es für alle [mm]\ge N_{0}[/mm] gilt, dann auch für jedes [mm]{\phi(n)} \ge N_{0} \forall[/mm] n(Worauf du grade hingewiesen hast), also folgt doch daraus, dass [mm]|a_{\phi(n)}[/mm] - [mm]x|<\varepsilon \forall n\ge N_{0}?[/mm]
Für alle [mm] $\phi(n) \ge \phi(N_0)$ [/mm] 
> Gilt diese direkte Folgerung, oder muss man das auch noch irgnedwie begründen?
Ansonsten gilt die Folgerung so. Die Begründung steckt ja in dem Text vorher drin, nämlich dass [mm] $\phi(n) \ge [/mm] n$.
MFG,
Gono.
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:03 Di 18.01.2011 | | Autor: | Theoretix |
Super, danke für die Hilfe erstmal! Werde mich dann noch an der Rückrichtung des Beweises Versuchen!
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:14 Di 18.01.2011 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
die Rückrichtung ist trivial, wenn du eine bestimmte TF betrachtest 
MFG,
Gono.
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Noch eine Frage dazu:
Wie formuliere ich mathematisch korrekt, dass die Teilfolge definiert sein soll, als die Folge selbst?
Denn die Definition einer Teilfolge geht doch über eine Abbildung [mm] \phi:\IN \to \IN
[/mm]
Wie drücke ich damit jetzt aus, dass meine Teilfolge eben grade die Folge selbst sein soll? (Es geht v.a. um einen sauberen Aufschrieb)
Gruß
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Huhu,
wenn du mit der TF die gesamte Folge meinst, ist [mm] \phi(n) [/mm] einfach die Identität, also [mm] $\phi(n)=n$.
[/mm]
Du kannst es aber auch einfach als Worte schreiben.
Oftmals sagt ein Satz mehr als tausend Formeln
MFG,
Gono.
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> Huhu,
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> > Ich würde dann so argumentieren: Wenn es für alle [mm]\ge N_{0}[/mm]
> gilt, dann auch für jedes [mm]{\phi(n)} \ge N_{0} \forall[/mm]
> n(Worauf du grade hingewiesen hast), also folgt doch
> daraus, dass [mm]|a_{\phi(n)}[/mm] - [mm]x|<\varepsilon \forall n\ge N_{0}?[/mm]
>
> Für alle [mm]\phi(n) \ge \phi(N_0)[/mm]
>
> > Gilt diese direkte Folgerung, oder muss man das auch noch
> irgnedwie begründen?
>
> Ansonsten gilt die Folgerung so. Die Begründung steckt ja
> in dem Text vorher drin, nämlich dass [mm]\phi(n) \ge n[/mm].
Dazu noch eine schnelle Frage: [mm] \phi(n) \ge [/mm] n gilt, weil Teilfolgen per Definition monoton wachsende Indizes haben, oder warum?
Gruß
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Huhu,
> Dazu noch eine schnelle Frage: [mm]\phi(n) \ge[/mm] n gilt, weil
> Teilfolgen per Definition monoton wachsende Indizes haben,
> oder warum?
ja, du kannst es dir auch anschaulich vorstellen.
Die Folgenglieder der Teilfolge müssen ja immer in der ursprünglichen Reihenfolge bleiben.
Sobald du also ein Folgenglied auslässt, ist die Indizierung der Teilfolge sofort echt grösser als n.
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:41 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Theoretix |
Super, danke dir!
Gruß
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