Konvergenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe 1 | Für n [mm] \in \IN [/mm] sei f : [mm] (0,\infty) \to \IR [/mm] definiert durch f(x):= [mm] 1/(1+x^n).
[/mm]
Zeigen Sie: Die Folge (f) konvergiert punktweise, aber nicht gleichmäßig gegen eine Funktion f : [mm] (0,\infty) \to \IR. [/mm] |
| Aufgabe 2 | Für n [mm] \in \IN [/mm] sei f : [0,1] [mm] \to \IR [/mm] definiert durch f(x):= x/n.
Zeigen Sie: Die Folge (f) konvergiert gleichmäßig auf [0,1] gegen die Nullfunktion.
|
| Aufgabe 3 | Es seien f,g : [mm] \IR \to \IR [/mm] stetige Funktionen mit f(x)=g(x) für alle x in [mm] \IQ.
[/mm]
Zeigen Sie: Dann gilt bereits f(x)=g(x) für alle x in [mm] \IR.
[/mm]
Hinweis: Führen Sie ein Widerspruchsbeweis. Dabei benutzen Sie, dass [mm] \IQ [/mm] dicht in [mm] \IR [/mm] liegt.
|
hallo,
hat jemand eine ahnung, wie man an die aufgaben herangehen kann? und was muss gelten, damit eine folge punktweise konvergiert. was ist der unterschied zwischen punktweise konvergieren und gleichmäßig konvergieren (in beweisen)?
danke
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 Di 24.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Susann!
Bei der punktweisen Konvergenz betrachtest du für festes $x$ die Zahlenfolge $(f_n(x))_{n \in \IN}$. Hier darf also das $n_0$, das du je finden musst, um für festes $\varepsilon>0$ die Beziehung
$|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon$
für alle $n \ge n_0$ nachzuweisen, nicht nur von $\varepsilon$, sondern auch vom gewählten $x$ abhängen. Bei der gleichmäßigen Konvergenz hingegen darf die Abhängigkeit von $x$ nicht bestehen. Stattdessen muss man für festes $\varepsilon>0$ eine $n_0 \in \IN$ finden, das ausschließlich von $\varepsilon$ abhängt, mit
$|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon$
für alle $n \ge n_0$ und alle $x \in D$.
Bei deiner zweiten Aufgabe ist das leicht:
Für festes $\varepsilon>0$ sei $n_0:= \left\lfloor \frac{1}{\varepsilon}\right \rfloor+1$. Dann gilt für alle $n \ge n_0$ und alle $x \in [0,1]$:
$|f_n(x) - f(x)| = \left|\frac{x}{n} \right| \le \frac{1}{n} < \varepsilon$.
Versuche die erste Aufgabe jetzt mal selber.
Grundsätzlich: Bitte demnächst für jede Aufgabe einen einzelnen Strang, niemals so viele Aufgaben (das halbe Aufgabenblatt?) auf einmal posten.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
|
