Integrale mit Substitution < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 Sa 23.04.2011 | | Autor: | Roffel |
| Aufgabe | Berechnen sie folgende Integrale mit geeigneter Integration:
d) [mm] \integral_{0}^{\pi/2}{f(x) dx} \bruch{sin(x)}{1+cos^{2}x} [/mm] dx
e) [mm] \integral_{0}^{1/2}{f(x) dx} \bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}} [/mm] |
Hi
die d) hab ich verstanden bis auf die eigentliche "Rechnung" am Schluss...
am Ende steht da ja dann
[mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} \bruch{1}{1+z^{2}} [/mm] dz
=[arctan z] = [mm] \pi/4
[/mm]
ok, man muss wahrscheinlich auswenig wissen das die ABleitung von arctan (x)= [mm] \bruch{1}{1+x^{2}} [/mm] ist nehme ich an oder?? das Wissen wird vorrausgesetzt?
aber wie rechne ich mit arctan , hab davon überhaupt keine Anhung...
gibt es da auch so Werte die man halt auswendig lernen muss/sollte ??
oder woher weiß ich das arctan ( 1) - arctan (0) = [mm] \pi/4 [/mm] ist ???
zu e)
[mm] \integral_{0}^{1/2}{f(x) dx} \bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}}
[/mm]
da ist mir die Substitution noch unklar. in der Lösung steht das so:
z= arcsin (x)
<--> x= sin(z)
dx=cos(z) dz
wie kommt man von z= arcsin (x) nach x= sin(z) ? wie ist da die Umformung ausführlich und wie kommt man dann vollens auf dx=cos(z) dz ?
bei der Aufgabe weiß ich eh nicht genau wie der Gedanke ist das man auf z= arcsin (x) kommt...
Ich bitte um Hilfe und eine Erleuchtung :)
Gruß
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Hallo Roffel,
> Berechnen sie folgende Integrale mit geeigneter
> Integration:
> d) [mm]\integral_{0}^{\pi/2}{f(x) dx} \bruch{sin(x)}{1+cos^{2}x}[/mm]
> dx
> e) [mm]\integral_{0}^{1/2}{f(x) dx} \bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}}[/mm]
>
> Hi
> die d) hab ich verstanden bis auf die eigentliche
> "Rechnung" am Schluss...
> am Ende steht da ja dann
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx} \bruch{1}{1+z^{2}}[/mm] dz
> =[arctan z] = [mm]\pi/4[/mm]
>
> ok, man muss wahrscheinlich auswenig wissen das die
> ABleitung von arctan (x)= [mm]\bruch{1}{1+x^{2}}[/mm] ist nehme ich
> an oder?? das Wissen wird vorrausgesetzt?
Ja. Man kann es sich zwar herleiten, aber in einer Klausur bleibt dafür keine Zeit. Weil man sich das aber nicht so leicht merken kann, erlauben manche Profs gewisse Integraltabellen, in denen man sowas auch findet.
> aber wie rechne ich mit arctan , hab davon überhaupt
> keine Anhung...
> gibt es da auch so Werte die man halt auswendig lernen
> muss/sollte ??
Es sind die Werte, die Du beim Tangens (hoffentlich) schon gelernt hast, denn der [mm] \arctan [/mm] ist ja nichts weiter als die Umkehrung des Tangens. Auf Taschenrechnern und auf englischen Webseiten (wie z.B. bei Wolfram Alpha) findet man manchmal die auf den ersten Blick "griffige" Bezeichnung [mm] \tan^{-1}, [/mm] die allerdings zu Verwirrung führt, den der [mm] \arctan [/mm] ist ja nicht der Kehrwert des Tangens (das wäre der Kotangens), sondern seine Umkehrfunktion.
> oder woher weiß ich das arctan ( 1) - arctan (0) = [mm]\pi/4[/mm]
> ist ???
Das sind zwei der "ausgezeichneten" Werte, die man wissen muss. [mm] \tan{\bruch{\pi}{4}}=1\ \gdw\ \arctan{1}=\bruch{\pi}{4} [/mm] und [mm] \tan{0}=0\ \gdw\ \arctan{0}=0. [/mm]
Die Tangenswerte für [mm] \varphi=\bruch{\pi}{6} [/mm] und [mm] \bruch{\pi}{3} [/mm] solltest Du auch wissen.
> zu e)
> [mm]\integral_{0}^{1/2}{f(x) dx} \bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}}[/mm]
>
> da ist mir die Substitution noch unklar. in der Lösung
> steht das so:
>
> z= arcsin (x)
> <--> x= sin(z)
> dx=cos(z) dz
> wie kommt man von z= arcsin (x) nach x= sin(z) ? wie ist
> da die Umformung ausführlich
Da gibts keine ausführliche Umformung. So ist der [mm] \arcsin [/mm] definiert: als Umkehrung des Sinus.
> und wie kommt man dann
> vollens auf dx=cos(z) dz ?
Na, wenn [mm] x=\sin{z} [/mm] ist, dann ist [mm] \bruch{dx}{dz}=\cos{z} [/mm] - einfach ableiten. Der Rest folgt durch Multiplikation mit dz.
> bei der Aufgabe weiß ich eh nicht genau wie der Gedanke
> ist das man auf z= arcsin (x) kommt...
> Ich bitte um Hilfe und eine Erleuchtung :)
Im Nenner steht [mm] \wurzel{1-x^2}. [/mm] Bei sowas solltest Du sofort an den trigonometrischen Pythagoras [mm] \sin^2{t}+\cos^2{t}=1 [/mm] denken. Also probiert man entweder [mm] x=\sin{z} [/mm] oder [mm] x=\cos{z} [/mm] aus, dann wird aus der Wurzel schonmal was Einfaches.
Hier geht übrigens beides, [mm] \sin [/mm] oder [mm] \cos.
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Sa 23.04.2011 | | Autor: | Roffel |
Herzlichen Dank reverend !!!
deinen beitrag zu diesem Thema hab ich jetzt verstanden...
bei meinem anderen Eintrag, wo du mir auch geantwortet hast, hab ich leider noch so meine Schwierigkeiten...
PS: Mein Mozilla firefox Fenster ist hier so abartig riesig seid 2 tagen, aber nur bei Matheforum.net, also die ganze Schrift usw. ist alels abartig rießig auf einmal... weiß du vlt auch zufällig was ich da ausversehen verstellt haben könnte??
Grüße
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Hallo Roffel,
> Herzlichen Dank reverend !!!
> deinen beitrag zu diesem Thema hab ich jetzt
> verstanden...
> bei meinem anderen Eintrag, wo du mir auch geantwortet
> hast, hab ich leider noch so meine Schwierigkeiten...
>
> PS: Mein Mozilla firefox Fenster ist hier so abartig riesig
> seid 2 tagen, aber nur bei Matheforum.net, also die ganze
> Schrift usw. ist alels abartig rießig auf einmal... weiß
> du vlt auch zufällig was ich da ausversehen verstellt
> haben könnte??
>
Vielleicht hast Du aus Versehen die Schriftgröße verändert.
Einstellen kannst Du die Schriftgröße im Menü Ansicht.
> Grüße
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:34 Sa 23.04.2011 | | Autor: | reverend |
Noch ein Nachtrag zur Größe:
Firefox speichert zu jeder besuchten Website, in welcher Größe Du sie dir anschaust, so dass sie eben auch nach jedem Neustart oder erneuten Aufruf in der gleichen Vergrößerung dargestellt wird.
Man kann den Zoom auf zwei Weise direkt und schnell verstellen:
Strg und Plus oder Minus-Taste für größer/kleiner,
oder Strg und Scrollrad (wenn Deine Maus eins hat).
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:47 Sa 23.04.2011 | | Autor: | Roffel |
Danke Danke Danke... endlich wieder ein normales Fenster hier :)
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> Berechnen sie folgende Integrale mit geeigneter
> Integration:
> d) [mm]\integral_{0}^{\pi/2}{f(x) dx} \bruch{sin(x)}{1+cos^{2}x}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> dx
> e) [mm]\integral_{0}^{1/2}{f(x) dx} \bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}}[/mm]
Hallo,
was sollen diese Ausdrücke f(x) in den Integranden ??
Du meinst doch wohl einfach die Integrale
d) [mm]\integral_0^{\pi/2} \bruch{sin(x)}{1+cos^{2}x}\ dx[/mm]
e) [mm]\integral_{0}^{1/2} \bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}}\ dx[/mm]
oder etwa nicht ?
Dann sind die zusätzlichen Terme f(x) nicht nur eine über-
flüssige Zierde, sondern schlicht und einfach falsch !
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:14 Sa 23.04.2011 | | Autor: | Roffel |
Hi
ja das f(x) beim Integral war ausversehen, da muss ich irgendwie mit dem reinkopieren durcheinander gekommen sein... Danke :)
Gruß
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