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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Di 31.01.2006 | | Autor: | kluh |
| Aufgabe | Hier unser Homomorphiesatz:
f: G [mm] \to [/mm] G' surjektiver Gruppenhomormorphismus. Dann induziert f einen Isomorphismus durch G/Ker(f) [mm] \overset{\sim}{\to} [/mm] G', a [mm] \cdot [/mm] Ker(f) [mm] \mapsto [/mm] f(a). |
Hallo Leute,
was kann man sich eigentlich unter dem Homomorphiesatz vorstellen, wozu ist er gut?
Vielleicht könntet ihr mir auch ein Beispiel geben, wo man den Homomorphiesatz gebrauchen kann.
Danke.
Gruß
Stefan
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Hallo,
also ich hatte mich damals damit abgefunden, den Homsatz zu akzeptieren so wie er ist. Ich fand den auch immer zeimlich abstrakt und "doof". Also unmittelbare Gewinne aus dem Homomorphiesatz sind diese:
Elemente einer Nebenklasse von Ker(Phi) haben bezüglich Phi dasselbe Urbild. Elemente verschiedener Nebenklassen haben bezüglich Phi verschiedene Urbilder.
Und Anwendungsbeispiele gibt es viele. Man kann z.B. zeigen, dass
1.) Sei G eine unendliche zyklische Gruppe, dann ist [mm] G\cong\IZ.
[/mm]
2.) Sei G eine endliche zyklische Gruppe der Ordnung [mm] n<\infty, [/mm] so ist [mm] G\cong\IZ_{n}. [/mm] Das beweist man mit dem Homsatz, in dem du dir solch einen surjektiven Homomorphismus suchst, nimm z.B. [mm] Phi:\IZ\to [/mm] G mit [mm] Phi(z)=g^{z} [/mm] mit g erzeugendes Element von G. Dann sieht man im ersten Fall, dass der Kern trivial ist und im zweiten Fall, dass der Kern [mm] n*\IZ [/mm] ist. Mit dem Homsatz folgen dann die Behauptungen!
Das ist dann auch immer dasselbe, wenn man etwas Routine hat!
Viele Grüße
Daniel
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