GW Vergleichskriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 Fr 14.11.2014 | | Autor: | lukasana |
| Aufgabe | c) Es seien a und b beliebige nichtnegative reelle Zahlen. Zeigen Sie ak:=
lim n→∞ n√( [mm] a^n [/mm] + [mm] b^n [/mm] )= max{a, b}.
Hinweis. Benutzen Sie zur Lösung dieser Aufgabe unter anderem das Vergleichskriterium für die Folgenkonvergenz. |
Habe bereits versucht eine Folge zu finden die größer gleich ak ist. Allerdings war der Grenzwert ein anderer. Ich weiß nicht welche Folge ich verwende kann die man berechnen kann und ebenfalls den Grenzwert max{a,b} hat.
Würde mich über Lösungsansätze oä. freuen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:01 Fr 14.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
Erinnerung:
[mm] \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1\text{ bzw. }\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{c}=1 [/mm] für alle [mm] $c>0\$.
[/mm]
Es kann sein, dass ihr ersteres schon beweisen habt, allerdings
letzteres nicht. Die Idee für letzteres sind zwei Fälle:
1. Fall:
Sei [mm] $c\ge 1\$, [/mm] dann folgt [mm] $1\le c\le [/mm] n$ für alle [mm] n\in\IN [/mm] und somit
[mm] 1\le\sqrt[n]{c}\le\sqrt[n]{n} [/mm] für alle [mm] n\in\IN. \red{\star}
[/mm]
Wieso folgt nun mit [mm] n\to\infty [/mm] die Behauptung?
2. Fall:
Sei [mm] c\in(0,1), [/mm] dann folgt mit 1 auch die Behauptung (Wieso?).
Zurück zur Aufgabe!
Zu zeigen:
[mm] \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a^n+b^n}=\max\{a,b\} [/mm] für alle [mm] $a,b\ge [/mm] 0$.
Wir setzen
[mm] c_n:=\sqrt[n]{a^n+b^n}.
[/mm]
1. Fall:
Seien [mm] $a=b=0\$, [/mm] dann folgt [mm] $c_n\to 0\$ [/mm] (Wieso?).
2. Fall:
Seien [mm] $a=0\$ [/mm] und [mm] $b>0\$, [/mm] dann folgt [mm] $c_n\to b\$ [/mm] (Wieso?).
3. Fall:
Seien [mm] $b=0\$ [/mm] und [mm] $a>0\$, [/mm] dann folgt [mm] $c_n\to a\$ [/mm] (Wieso?).
4. Fall:
Seien [mm] $a>0\$ [/mm] und [mm] $b>0\$. [/mm] Jetzt empfehle ich weitere Fälle zu
unterscheiden. Vielleicht noch als Starthilfe: Was passiert
für [mm] $a=1\$ [/mm] oder [mm] $b=1\$? [/mm] Du musst natürlich wie in [mm] \red{\star} [/mm] einen Beweis
konstruieren (Steht aber auch in der Aufgabenstellung).
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:16 Fr 14.11.2014 | | Autor: | lukasana |
Vielen Dank für die ausführliche Antwort! Habe erst morgen Zeit mir das ganze nochmal anzugucken und es dann nachzuvollziehen.
Mit freundlichen Grüßen
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