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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:58 Mi 01.12.2004 | | Autor: | semmel |
Hallo ihr Lieben,
ich kann mit dieser Aussage nix anfangen, weil ich erstens die Quantoren nicht vestehe, und zweitens sagt mir diese Exponentialfunktion überhaupt nix, und ich weiß nicht, wie ich daran gehen soll:
Man soll zeigen, dass folgendes gilt:
[mm] \forall \lambda [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IN: \limes_{n\rightarrow\infty} n^{k} [/mm] exp(- [mm] \lambda [/mm] n) =0
Kann mir jemad Ideen geben, oder Lösungansätze bzw. Erklärungen?
Danke.
semmel
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Hallo semmel,
Zu zeigen ist also: [m]\forall \lambda > 0\,\forall k \in \mathbb{N}:\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n^k }}{{e^{\lambda n} }} = 0[/m]
Beweis:
Ist $0 [mm] \in \IN$ [/mm] und $k = 0$, so gilt [m]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{e^{\lambda n} }} = 0[/m].
Für k > 0 gilt:
[m]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n^k }}
{{e^{\lambda n} }}\mathop = \limits^{{\text{l'Hospital}}{\text{, da }}\frac{\infty }
{\infty }} \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{kn^{k - 1} }}
{{\lambda e^{\lambda n} }}\mathop = \limits^{{\text{l'Hospital für }}k > 1} \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{k\left( {k - 1} \right)n^{k - 2} }}
{{\lambda ^2 e^{\lambda n} }}[/m]
Für $k [mm] \le [/mm] 2$ steht $n$ nur noch im Nenner, also ist das auch klar. Für alle anderen Fälle geht das analog:
[m]\begin{gathered}
\mathop = \limits^{ \cdots {\text{ l'Hospital }}k{\text{ mal angewendet}}} \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\overbrace {k\left( {k - 1} \right)* \cdots *\overbrace {\left( {k - \left( {k - 1} \right)} \right)}^1}^{k!}\overbrace {n^{k - k} }^1}}
{{\lambda ^k e^{\lambda n} }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{k!}}
{{\lambda ^k e^{\lambda n} }} \hfill \\
= \frac{{k!}}
{{\lambda ^k }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}
{{e^{\lambda n} }} = 0.\quad \square \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Gruß
Karl
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