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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:24 Di 21.12.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
wenn man über ein Erzeugendensystem spricht, meint man , dass das aus endlich oder unendlich vielen Vektoren bestehen kann? Kann die Menge der Skalaren (bezüglich einer Linearkombination) auch endlich oder unendlich sein?
Gruß
Igor
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Hallo Igor,
> wenn man über ein Erzeugendensystem spricht, meint man ,
> dass das aus endlich oder unendlich vielen Vektoren
> bestehen kann?
Sowohl als auch
> Kann die Menge der Skalaren (bezüglich
> einer Linearkombination) auch endlich oder unendlich sein?
Auch hier sowohl als auch.
Aber beachte: Eine Linearkombination selbst besteht immer nur aus endlich vielen Summanden! Auch wenn das Erzeugendensystem und die Menge der Skalare unendlich ist.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 Di 21.12.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Gono,
wenn man als Vektorraum V den Raum aller reellen Folgen , mit der Eigenschaft
höchstens endlich viele der Folgenglieder ungleich Null, hat. Was ist die Basis B
von V?
Man braucht eine Teilmenge B von V so, dass V=span(B) und B linear unabhängig ist. Falls B unendlich gross ist ( B:= [mm] {v_{1} , v_{2}...} [/mm] ), muss dann jedes [mm] v\in [/mm] V als Linearkombination von einer endlichen Teilmenge T von B dargestellt werden können?
EDIT: Oder kann man hier nicht mehr über Linearkombination sprechen, falls
B unendlich ist?
Gruss
Igor
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Huhu,
> wenn man als Vektorraum V den Raum aller reellen Folgen ,
> mit der Eigenschaft
> höchstens endlich viele der Folgenglieder ungleich Null,
> hat. Was ist die Basis B von V?
Ich würde behaupten, die gleiche wie vom Raum aller reellen Folgen.
> Man braucht eine Teilmenge B von V so, dass V=span(B) und B
> linear unabhängig ist. Falls B unendlich gross ist ( B:=
> [mm]{v_{1} , v_{2}...}[/mm] ), muss dann jedes [mm]v\in[/mm] V als
> Linearkombination von einer endlichen Teilmenge T von B
> dargestellt werden können?
Genau.
> EDIT: Oder kann man hier nicht mehr über Linearkombination
> sprechen, falls B unendlich ist?
Doch, aber jede Linearkombination für sich ist endlich.
Also überleg dir schonmal, warum eine endliche Menge B als Erzeugendensystem nicht in Frage kommt.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 Di 21.12.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Gono,
es gibt zumindest zwei Definitionen von span :
1. Als Schnitt über Untervektorräume...
2. Als Menge aller Linearkombinationen von [mm] v_{1}...v_{m}
[/mm]
Im zweiten Fall werden in der Definition endlich viele Vektoren betrachtet.
Ich meine , wenn man span(B) schreibt, dann meint man im zweiten Fall, dass B endlich ist.
Wir haben jedoch B erstmal als unendlich betrachtet.
Wenn ich dann span(B) schreibe, kann ich damit nur die erste Definition meinen?
Wenn ja , wie kann man dann über Linearkombination sprechen, denn
span(B) (B unendlich )bezügl. der zweiten Definition in unserem Skript nicht definiert ist.
Gruss
Igor
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Huhu,
> es gibt zumindest zwei Definitionen von span :
> 1. Als Schnitt über Untervektorräume...
> 2. Als Menge aller Linearkombinationen von [mm]v_{1}...v_{m}[/mm]
da hast du Voraussetzungen ignoriert.
"von [mm]v_{1}...v_{m}[/mm]$" gilt nur, wenn [mm] $B=\{v_{1}...v_{m}\}$.
[/mm]
Ansonsten steht da nur
"2. Als Menge aller Linearkombinationen von Vektoren aus B"
> Im zweiten Fall werden in der Definition endlich viele
> Vektoren betrachtet.
> Ich meine , wenn man span(B) schreibt, dann meint man im
> zweiten Fall, dass B endlich ist.
> Wir haben jedoch B erstmal als unendlich betrachtet.
> Wenn ich dann span(B) schreibe, kann ich damit nur die
> erste Definition meinen?
Nein, hab ich ja oben erklärt 
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:12 Di 21.12.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Gono,
das Problem ist, dass in unserem Skript [mm] span(v_{1},...,v_{m}) [/mm] :={...}
steht. Die Definition bezieht sich auf endliches B.
Aus Deiner Antwort verstehe ich , dass diese Definition nur ein spezial Fall ist.
Über unendliche/allgemeine Menge B bezüglich span(B) (als die Menge aller Linearkombinationen...) habe ich im Skript nichts gefunden.
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:23 Di 21.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Allgemein:
Ist V ein Vektorraun über K und M eine nichtleere Teilmenge von V, so ist
$span(M):= [mm] \{\summe_{i=1}^{n} \alpha_i*x_i: n \in \IN, \alpha_1, ..., \alpha_n \in K, x_1, ...,x_n \in V\}$
[/mm]
FRED
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