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Forum "Ganzrationale Funktionen" - Eine Gleichung bestimmen
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Eine Gleichung bestimmen: Gleichung bestimmen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:28 Mi 27.09.2006
Autor: wm0061

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo,
ich habe folgende Aufgabenstellung, bei der ich einfach zu keiner Lösung finde:

Aufgabe
Bestimme die Gleichung der Parabel 3. Grades, welche die Parabel mit der Gleichung [mm] $y=0{,}25*x^2$ [/mm] in $0$ berührt und in $H=(5/6,25)$ ihren Hochpunkt hat.


Ich schaffe es hierbei einfach nicht, eine solche Gleichung zu erstellen.

MfG
wm0061

        
Bezug
Eine Gleichung bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:44 Mi 27.09.2006
Autor: Herby

Hallo,

das ist gar nicht so schwer, wie es scheint:

Vorgehen:

1. allg. Form der Funktion aufstellen

2. Ableitungen der allg. Form bilden (bis zur 2. Ableitung reicht in unserem Fall)

3. Bedingungen einsetzen


1 und 2 müssten machbar sein - bei 3 helfen wir gerne, wenn du uns deine Überlegungen verrätst. Es bringt dir mehr, wenn wir notfalls deine Gedanken unterstützen als sie dir abzunehmen.

Tipp: da steht das Wort "berühren" und "0"


Liebe Grüße
Herby

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Eine Gleichung bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:03 Mi 27.09.2006
Autor: wm0061

Danke für die Antwort,
also meine Gedanken waren folgende:
[mm] f(x)=ax^3+bx^2+cx [/mm] Konstante fällt weg, da die Parabel durch den Ursprung geht.
f'(x)= [mm] 3ax^2+2bx+c [/mm]
Und bei dem Berührpunkt muss ich f`(x) mit g`(x) gleichsetzen, dass weiß ich. Aber Punt 3 bei dir fällt mir schwer und da könnte ich Unterstützung gebrauchen.
MfG
wm0061

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Eine Gleichung bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:22 Mi 27.09.2006
Autor: Herby

na dann...



> Danke für die Antwort,
>  also meine Gedanken waren folgende:
> [mm]f(x)=ax^3+bx^2+cx[/mm] Konstante fällt weg, da die Parabel durch
> den Ursprung geht.
>  f'(x)= [mm]3ax^2+2bx+c[/mm]
>  Und bei dem Berührpunkt muss ich f'(x) mit g'(x)
> gleichsetzen, dass weiß ich. Aber Punt 3 bei dir fällt mir
> schwer und da könnte ich Unterstützung gebrauchen.
>  MfG
>  wm0061

Zum Berührpunkt: Wenn eine Parabel die Form x² hat, dann liegt der Scheitel bei P(0|0) und ist eine doppelte Nullstelle. Das heißt aber auch: wenn eine andere Funktion die Parabel in 0 berühert, dann liegt auch hier eine doppelte Nullstelle vor (je nach Ordnung können natürlich auch mehr Nullstellen auftreten).

d.h. weiterhin:

a. P(0|0) ist Nullstelle
b. P ist Tiefpunkt, denn eine Parabel dritter Ordnung hat nur max. drei Nullstellen im Reellen.
-- somit ist f'(0)=0

außerdem haben wir noch einen Hochpunkt --> f'(5)=0

reicht dir das?


Liebe Grüße
Herby

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Eine Gleichung bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:39 Mi 27.09.2006
Autor: wm0061

Jetzt habe ich noch eine Frage: Muss ich eigentlich die Bedingung
f'(x)=g'(x) einbauen? Und wenn wie kann ich diese nutzen? Ich hätte es so gemacht: [mm] 3ax^2+bx=0,5x [/mm]  
Aber stimmt das?

Bezug
                                        
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Eine Gleichung bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:41 Mi 27.09.2006
Autor: M.Rex


> Jetzt habe ich noch eine Frage: Muss ich eigentlich die
> Bedingung
> f'(x)=g'(x) einbauen? Und wenn wie kann ich diese nutzen?
> Ich hätte es so gemacht: [mm]3ax^2+bx=0,5x[/mm]  
> Aber stimmt das?

Hallo

Das stimmt. Jetzt ist nur noch die Frage, an welcher Stelle x das geschehen soll. Kleiner Tipp: Was heisst, denn, dass sich zwei Graphen an einer Stelle berühren?

Marius

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Bezug
Eine Gleichung bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:47 Mi 27.09.2006
Autor: wm0061

Ich habe mal noch eine grundlegende Frage: Sehe ich das überhaupt richtig, dass bei meiner Parabel 3.Grades das [mm] x^2 [/mm] weglassen kann, denn ich der Aufgabe heißt es ja, dass der Graph einen Hochpunkt hat, und wenn ich nur ungerade Exponenten habe, gibt es doch keine Extremwerte, oder?
MfG
wm0061

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Bezug
Eine Gleichung bestimmen: Nein
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:58 Mi 27.09.2006
Autor: M.Rex

Nein, das funktioniert so nicht.

Schau dir mal die Funktion f(x)=x³-5x²+x an, diese hat definitiv Extremstellen.

[Dateianhang nicht öffentlich]


Marius




Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
Bezug
                                                        
Bezug
Eine Gleichung bestimmen: Und nochmal nein
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:02 Mi 27.09.2006
Autor: M.Rex

Schau dir mal bitte die Funktion f(x)=x³-20x an, diese hat nur ungerade Exponenten und trotzdem Extrema

[Dateianhang nicht öffentlich]

Marius

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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Eine Gleichung bestimmen: auch nein!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:07 Mi 27.09.2006
Autor: Herby

Hi,

> Ich habe mal noch eine grundlegende Frage: Sehe ich das
> überhaupt richtig, dass bei meiner Parabel 3.Grades das [mm]x^2[/mm]
> weglassen kann, denn ich der Aufgabe heißt es ja, dass der
> Graph einen Hochpunkt hat, und wenn ich nur ungerade
> Exponenten habe, gibt es doch keine Extremwerte, oder?
>  MfG
>  wm0061

Das war jetzt im Kreis gedreht: bei [mm] x^3 [/mm] gebe ich dir recht, dann bekommen wir einen Sattelpunkt, mit dem wir hier nix anfangen können.

Also muss dein x² drin bleiben, weil c und d ja schon 0 sind ;-)


Liebe Grüße
Herby

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Bezug
Eine Gleichung bestimmen: Funktionsverlauf
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:37 Mi 27.09.2006
Autor: Herby

Hallo,

ich habe deine gesuchte Funktion (grün) mal Zeichen lassen. Die rote Kurve stellt y=0,25x² dar.

[Dateianhang nicht öffentlich]



Liebe Grüße
Herby

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Eine Gleichung bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:26 Mi 27.09.2006
Autor: wm0061

Hallo Herby,
jetzt stehe ich endgültig auf dem Schlauch. Du scheinst j die Lösung zu kenne, könntest du mir nicht mal zeigen, wie du das gemacht hast. Du siehst ja, dassich mir Gedanken mache und nicht nur abschreiben möchte.
MfG
wm0061

Bezug
                        
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Eine Gleichung bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:43 Mi 27.09.2006
Autor: Herby

Hi,

> Hallo Herby,
>  jetzt stehe ich endgültig auf dem Schlauch. Du scheinst j
> die Lösung zu kenne, könntest du mir nicht mal zeigen, wie
> du das gemacht hast. Du siehst ja, dassich mir Gedanken
> mache und nicht nur abschreiben möchte.

das hatte ich auch gar nicht gedacht, nur wir können halt besser auf Probleme eingehen, wenn wir sie kennen - logisch, oder :-)

Also, nochmal die Bedingungen und hier nenne ich die unbekannte Funktion dritten Grades (kubische Funktion) [mm] f(x):a*x^3+b*x^2+c*x+d [/mm]

Wir wissen:

1. f(0)=0  daraus folgt:  d=0

2. f'(0)=0 daraus folgt:  c=0

3. f(5)=6,25  daraus folgt:  [mm] 6,25=5^3*a+5^2*b [/mm]

4. f'(5)=0 daraus folgt: [mm] 0=3*5^2*a+2*5*b [/mm]

zwei Gleichungen - zwei Unbekannte  ==>  a=-0,1  und b=0,75

[mm] f(x)=-0,1*x^3+0,75*x^2 [/mm]



zu 1.:  das dürfte klar sein, oder?

zu 2.: da f(x) die Parabel in 0 berühert, muss eine doppelte Nullstelle vorliegen und somit die erste Ableitung im Punkt 0 gleich Null sein.

zu 3.: dürfte auch klar sein

zu 4.: naja, die Ableitung im Hochpunkt ist auch 0



Wenn noch Fragen sind, dann los :-)



Liebe Grüße
Herby

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Eine Gleichung bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:26 Mi 27.09.2006
Autor: wm0061

Hallo,
vielen vielen Dank, jetzt habe ich alles verstanden. Mein Problem war, dass bei mir [mm] bx^2 [/mm]  immer aus der Ausgangsgleichung rausgeflogen ist und ich mit cx weitergemacht habe.
Ich mache die Aufgaben übrigens für die BA-Mannheim, bei der ich am Montag anfange und die Aufgaben zum Auffrischen nutze.
Vielleicht kannst du mir ja nochmal helfen.
Ableitungen zu folgenden zwei Gleichungen:
f(x)=(-cos(x))/(2*x*tan(x))
f(x)=sin( [mm] \wurzel{1-2*x} [/mm] )

Bezug
                                        
Bezug
Eine Gleichung bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:41 Mi 27.09.2006
Autor: M.Rex


> Hallo,
>  vielen vielen Dank, jetzt habe ich alles verstanden. Mein
> Problem war, dass bei mir [mm]bx^2[/mm]  immer aus der
> Ausgangsgleichung rausgeflogen ist und ich mit cx
> weitergemacht habe.
> Ich mache die Aufgaben übrigens für die BA-Mannheim, bei
> der ich am Montag anfange und die Aufgaben zum Auffrischen
> nutze.
>  Vielleicht kannst du mir ja nochmal helfen.
>  Ableitungen zu folgenden zwei Gleichungen:
>  f(x)=(-cos(x))/(2*x*tan(x))
>  f(x)=sin( [mm]\wurzel{1-2*x}[/mm] )

Hallo nochmal.

Ich vermute mal, du meinst
[mm] f(x)=\bruch{cos(x)}{2*x*tan(x)} [/mm]
Dann leitest das jetzt mit der Quotientenregel ab.

[mm] f(x)=\bruch{cos(x)}{2*x*tan(x)} [/mm]

[mm] f'(x)=\bruch{sin(x)*2x*tan(x)-cos(x)*\bruch{1}{cos²(x)}}{tan²(x}=\bruch{2x*cos(x)*tan(x)-\bruch{1}{cos(x)}}{tan²(x)}. [/mm]



Zur zweiten Funktion
[mm] f(x)=sin(\wurzel{1-2*x}) [/mm]
Hier musst du die Kettenregel anwenden-und zwar geeich zweimal.
Fangen wir mal mit der Inneren Funktion [mm] g(x)=\wurzel{1-2*x} [/mm] an
Hier gilt (per Kettenregel)
[mm] g'(x)=\underbrace{-2}_{innereAbl.}*\underbrace{\bruch{1}{2\wurzel{1-2*x}}}_{aeuss.Abl.}=-\bruch{1}{\wurzel{1-2*x}} [/mm]

Jetzt können wir die Gesamtfunktion f ableiten.
[mm] f'(x)=-\bruch{1}{\wurzel{1-2*x}}*cos(\wurzel{1-2*x}) [/mm]

Marius

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Bezug
Eine Gleichung bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:39 Di 17.10.2006
Autor: belia269

Aufgabe
$ [mm] f(x)=\bruch{cos(x)}{2\cdot{}x\cdot{}tan(x)} [/mm] $

bei der quotientenregel heißt es ja (g'h-gh')/h².  ist in diesem Fall h² nicht gleich 4x²*tan²(x)? ich habe das gefühl als hättest du bei deinen Berechnungen den Faktor 2x komplett außer Acht gelassen...

Bezug
                                                        
Bezug
Eine Gleichung bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:13 Di 17.10.2006
Autor: angela.h.b.


> [mm]f(x)=\bruch{cos(x)}{2\cdot{}x\cdot{}tan(x)}[/mm]
>  bei der quotientenregel heißt es ja (g'h-gh')/h².  ist in
> diesem Fall h² nicht gleich 4x²*tan²(x)?

Ja.

>ich habe das

> gefühl als hättest du bei deinen Berechnungen den Faktor 2x
> komplett außer Acht gelassen...

Ja, das ist einiges durcheinander gegangen.

[mm]f(x)=\bruch{cos(x)}{2\cdot{}x\cdot{}tan(x)}[/mm]

[mm] f'(x)=\bruch{2x tanx*(-sinx) - cosx(2 tanx+2x\bruch{1}{cos^2x})}{4x^2 tan^2x} [/mm]

[mm] =\bruch{-2x tanx*(sinx) - (2 sinx+2x\bruch{1}{cosx})}{4x^2 tan^2x} [/mm]

[mm] =\bruch{-x tanx*(sinx) - ( sinx+x\bruch{1}{cosx})}{2x^2 tan^2x}, [/mm]

was man dann noch weiter umformen kann.

Gruß v. Angela



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