Eigenwerte der 2.Ableitung < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:31 Do 27.01.2011 | | Autor: | void. |
| Aufgabe | Sei [mm] P_n [/mm] der Vektorraum der Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] n mit reellen Koeffizienten und
[mm] D^2 [/mm] : [mm] P_n \to P_n; [/mm] f [mm] \to D^2(f) [/mm] = f''
die zweite Ableitung.
Bestimme die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren von [mm] D^2 [/mm] |
Hallo,
ich bin bei dieser Aufgabe etwas ratlos.....
auch wenn ich mir die darstellende Matrix zusammenbau kann ich kein wirkliches charakteristisches Polynom berechnen um Eigenwerte bestimmen zu können :/
wie kann ich da ansetzen?
Gruss void
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> Sei [mm]P_n[/mm] der Vektorraum der Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] n mit
> reellen Koeffizienten und
> [mm]D^2[/mm] : [mm]P_n \to P_n;[/mm] f [mm]\to D^2(f)[/mm] = f''
> die zweite Ableitung.
> Bestimme die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren
> von [mm]D^2[/mm]
>
>
> Hallo,
>
> ich bin bei dieser Aufgabe etwas ratlos.....
> auch wenn ich mir die darstellende Matrix zusammenbau
Hallo,
wie sieht sie denn aus?
> kann
> ich kein wirkliches charakteristisches Polynom berechnen um
> Eigenwerte bestimmen zu können :/
Was meinst Du mit "wirkliches" charakteristisches Polynom?
> wie kann ich da ansetzen?
Du solltest Dein Problem erstmal präziser formulieren, damit wir es verstehen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Do 27.01.2011 | | Autor: | void. |
Also die darstellende Matrix müsste so aussehen.
Wenn ich als Basis = {1 , x , [mm] x^2 [/mm] , [mm] x^3 [/mm] .... , [mm] x^n [/mm] } wähle
A= [mm] \pmat{ 0 & 0 & 2*1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3*4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4*5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & n*(n-1) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
da kann ich aber schlecht det ( [mm] \lambda [/mm] * [mm] E_n [/mm] - A ) rechnen ... wodurch ich normalerweise das char. Polynom bekomme.
Edit: also wenn ich mir das so ankuck, dann wird die det doch immer =0 wenn ich das zum bsp nach laplace Entwickel?
es fliegt ja immer die "linkste" Spalte mit zugehöriger Zeile raus, also steht da
[mm] \lambda [/mm] * [mm] \lambda [/mm] * [mm] \lambda [/mm] * [mm] \lambda [/mm] * [mm] \lambda [/mm] *...... * [mm] \vmat{ \lambda & 0 \\ 0 & \lambda }
[/mm]
dann isses nur für [mm] \lambda [/mm] = 0 erfüllt, also das der einzige EW, seh ich das richtig?
ich meinte nicht wirkliches Polynom, sondern das ich es nicht wirklich berechnen kann :o
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Also die darstellende Matrix müsste so aussehen.
> Wenn ich als Basis = {1 , x , [mm]x^2[/mm] , [mm]x^3[/mm] .... , [mm]x^n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> wähle
>
> A= [mm]\pmat{ 0 & 0 & 2*1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 3*4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 4*5 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & n*(n-1) \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
>
> da kann ich aber schlecht det ( [mm]\lambda[/mm] * [mm]E_n[/mm] - A ) rechnen
> ... wodurch ich normalerweise das char. Polynom bekomme.
>
>
> Edit: also wenn ich mir das so ankuck, dann wird die det
> doch immer =0 wenn ich das zum bsp nach laplace Entwickel?
> es fliegt ja immer die "linkste" Spalte mit zugehöriger
> Zeile raus, also steht da
> [mm]\lambda[/mm] * [mm]\lambda[/mm] * [mm]\lambda[/mm] * [mm]\lambda[/mm] * [mm]\lambda[/mm] *......
> * [mm]\vmat{ \lambda & 0 \\
0 & \lambda }[/mm]
>
> dann isses nur für [mm]\lambda[/mm] = 0 erfüllt, also das der
> einzige EW, seh ich das richtig?
Hallo,
ja.
Und wie lautet das charakteristische Polynom nun?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Do 27.01.2011 | | Autor: | void. |
[mm] x^n?
[/mm]
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> [mm]x^n?[/mm]
Ja.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:53 Do 27.01.2011 | | Autor: | void. |
Danke für die schnelle Hilfe
Edit: sind die EV dann [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ ... \\ 0} \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ ... \\ 0} [/mm] ???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Do 27.01.2011 | | Autor: | void. |
konnte die Mitteilung nicht mehr zur Frage machen ~.~ also nochmal:
> Edit: sind die EV dann [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ ... \\ 0} \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ ... \\ 0} [/mm] ???
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> konnte die Mitteilung nicht mehr zur Frage machen ~.~ also
> nochmal:
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> > Edit: sind die EV dann [mm]\vektor{1 \\
0 \\
0 \\
0 \\
... \\
0} \vektor{0 \\
1 \\
0 \\
0 \\
... \\
0}[/mm]
> ???
Hallo,
das sind die Koordinatenvektoren der EVen Deiner Abbildung in Koordinaten bzgl. der Standardbasis des [mm] P_n.
[/mm]
"Übersetze" sie in Polynome.
Gruß v. Angela
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