Eigenwert berechnen - Polynom < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Do 11.11.2010 | | Autor: | Marius6d |
| Aufgabe | Polynom bilden siehe Frage
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Also ich habe oben einfach mal kurz das Beispiel aus wikipedia kopiert.
Also ich soll Eigenwerte berechnen, wie das an sich geht weiss ich. Nun aber zu meinen wichtigen Fragen:
Also die erste ist wohl ganz einfach: Wie bilde ich aus (hab der einfachheit halber x als variabel eingeführt)
-(x-2)(x-2)(x+2) aus [mm] -x^{3} [/mm] + [mm] 2x^{2} [/mm] + 4x -8 ? Gibt es hier irgendwelche Regeln? Denn ich muss das Polynom ja auf diese Form finden! die Nullstellen würde ich ja auch sonst finden, aber die Anzahl der Eigenwerte ja nicht als, EW1 und EW2 sind 2 und EW 3 ist -2. Sonst würde ich ja einfach 2 und -2 herausbekommen!
Und eine weitere Frage ist die Reihenfolge der Eigenwerte, denn ich könnte ja auch -(x-2)(x+2)(x-2) setzen, dann wäre EW1 und EW3 ja 2 und EW2 -2! Gibt es hier auch eine Regel wie die Reihenfolge sein muss oder ist das egal?
Vielen Dank schonmal für die Hilfe
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo Marius6d,
> Polynom bilden siehe Frage
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Also ich habe oben einfach mal kurz das Beispiel aus
> wikipedia kopiert.
>
> Also ich soll Eigenwerte berechnen, wie das an sich geht
> weiss ich. Nun aber zu meinen wichtigen Fragen:
>
> Also die erste ist wohl ganz einfach: Wie bilde ich aus
> (hab der einfachheit halber x als variabel eingeführt)
>
> -(x-2)(x-2)(x+2) aus [mm]-x^{3}[/mm] + [mm]2x^{2}[/mm] + 4x -8 ? Gibt es hier
> irgendwelche Regeln? Denn ich muss das Polynom ja auf diese
> Form finden! die Nullstellen würde ich ja auch sonst
> finden, aber die Anzahl der Eigenwerte ja nicht als, EW1
> und EW2 sind 2 und EW 3 ist -2. Sonst würde ich ja einfach
> 2 und -2 herausbekommen!
Die Regel ist bei einem ganzzahligen normierten Polynom,
zuerst die Teiler des Absolutgliedes als mögliche Nullstellen
durch zu probieren.
Hier also: [mm]-x^{3} +2x^{2} + 4x -8[/mm]
Normiert ergibt: [mm]x^{3} -2x^{2} - 4x+8[/mm]
Probiere also folgende Teiler von 8 als mögliche Nullstellen aus:
[mm]\pm 1, \ \pm 2, \ \pm 4, \ \pm 8[/mm]
Hast Du eine gefunden, dann kannst Du den Grad des Polynoms
durch Polynomdivision erniedrigen. Damit hast Du ein Polynom 2. Grades,
wovon Du diese Methode ebenfalls anwenden kannst.
>
> Und eine weitere Frage ist die Reihenfolge der Eigenwerte,
> denn ich könnte ja auch -(x-2)(x+2)(x-2) setzen, dann
> wäre EW1 und EW3 ja 2 und EW2 -2! Gibt es hier auch eine
> Regel wie die Reihenfolge sein muss oder ist das egal?
>
Das ist egal in welcher Reihenfolge, die Linearfaktoren
hingeschrieben werden.
Dasselbe gilt auch für die Eigenwerte.
Gebräuchlich ist aber eine dieser Reihenfolgen:
2,2,-2 oder -2,2,2
> Vielen Dank schonmal für die Hilfe
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Fr 12.11.2010 | | Autor: | Marius6d |
Ok vielen Dank!
Also ich musste die Eigenwerte der Matrix A berechnen:
[mm] \pmat{ 5/6 & -1/6 & 2/6\\ -1/6 & 5/6 & 2/6\\ 2/6 & 2/6 & 2/6}
[/mm]
Ergibt die Eigenwerte 0, 1 , 1
Das stimmt auch laut Lösung, nun jetzt soll ich die Vektoren bestimmen, also hab ich die EW's eingesetzt und aufgelöst, für 0 gibt es einen freien Parameter, den kann ich ja wählen wie ich will oder? so bin ich auf einen [mm] Vektor:\vektor{1 \\ -1 \\ 2} [/mm] gekommen, laut Lösung müsste er aber [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ 2} [/mm] betragen, was hab ich falsch gemacht, die Matrix mit eingesetztem 0 und Gaussalgorithmus durchgeführt ergibt ja:
[mm] \pmat{ 5/6 & -1/6 & 2/6\\ 0 & 4/5 & 12/30\\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
Und muss ich diesen Vekotr wählen, ich kann ja ein Parameter wählen wie ich will oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:35 Fr 12.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ok vielen Dank!
>
> Also ich musste die Eigenwerte der Matrix A berechnen:
>
> [mm]\pmat{ 5/6 & -1/6 & 2/6\\ -1/6 & 5/6 & 2/6\\ 2/6 & 2/6 & 2/6}[/mm]
>
> Ergibt die Eigenwerte 0, 1 , 1
>
> Das stimmt auch laut Lösung, nun jetzt soll ich die
> Vektoren bestimmen, also hab ich die EW's eingesetzt und
> aufgelöst, für 0 gibt es einen freien Parameter, den kann
> ich ja wählen wie ich will oder? so bin ich auf einen
> [mm]Vektor:\vektor{1 \\ -1 \\ 2}[/mm] gekommen
Das ist kein Eigenvektor zum Eigenwert 0 !!
> , laut Lösung müsste
> er aber [mm]\vektor{-1 \\ -1 \\ 2}[/mm] betragen, was hab ich falsch
> gemacht,
Zeig doch mal Deine Rechnungen
FRED
> die Matrix mit eingesetztem 0 und Gaussalgorithmus
> durchgeführt ergibt ja:
>
> [mm]\pmat{ 5/6 & -1/6 & 2/6\\ 0 & 4/5 & 12/30\\ 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> Und muss ich diesen Vekotr wählen, ich kann ja ein
> Parameter wählen wie ich will oder?
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Fr 12.11.2010 | | Autor: | Marius6d |
Ok, also ich habe ja den Eigenwert 0 eingesetzt, und bin dann per Gauss auf obige Matrix gekommen,
[mm] \pmat{ \bruch{5}{6} & -\bruch{1}{6} &\bruch{2}{6}\\ 0 & \bruch{4}{5} &\bruch{2}{5} \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
Also da ja eine Zeilen nur 0en aufweist, kann ich diesen Parameter frei wählen oder? (hier auch eine Frage: woher weiss ich welche Zahl ich hier für den Parameter einsetzen muss?)
also habe ich für z = 2 gewählt.
--> das eingesetzt:
[mm] \bruch{4}{5}y [/mm] + [mm] 2*(\bruch{2}{5}) [/mm] = 0
[mm] \bruch{4}{5}y [/mm] = [mm] -\bruch{4}{5} [/mm]
y = [mm] -\bruch{4}{5} [/mm] / [mm] \bruch{4}{5}
[/mm]
y = -1
Dann weiter eingesetzt:
[mm] \bruch{5}{6}x [/mm] - [mm] \bruch{1}{6}*-1 [/mm] + [mm] \bruch{2}{6}*2 [/mm] = 0
[mm] \bruch{5}{6}x [/mm] + [mm] \bruch{5}{6} [/mm] = 0
[mm] \bruch{5}{6}x [/mm] = [mm] -\bruch{5}{6}
[/mm]
x = [mm] -\bruch{5}{6} [/mm] / [mm] \bruch{5}{6}
[/mm]
x = -1
Hmm ok jetzt hab ich grad erkannt, dass ich wohl was falsches gerechnet haben muss, ist mir woh ein minus verschwunden, jetzt stimmts ja. :)
Aber trotzdem noch die Frage: woher weiss ich welche werte ich für die Parameter eingeben muss? besonders für solche Eigenvektoren wo 2 oder mehr Parameter wählbar sind?
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Hallo Marius6d,
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> Aber trotzdem noch die Frage: woher weiss ich welche werte
> ich für die Parameter eingeben muss? besonders für solche
> Eigenvektoren wo 2 oder mehr Parameter wählbar sind?
Im Grunde kannst Du die Parameter wählen, wie Du lustig bist,
d.h. mindestens ein Parameter muß von 0 verschieden sein.
Nur musst Du dann dafür sorgen, daß die so erhaltenen Eigenvektoren
auch linear unabhängig sind.
Es hat sich als günstig erwiesen, wenn ein Parameter [mm]\not=0[/mm]
gewählt wird und die anderen Parameter auf 0 gesetzt werden.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Fr 12.11.2010 | | Autor: | Marius6d |
Ok vielen Dank! Ok also die Vektoren sind ja [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ 2} [/mm] , [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{2 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Nun sollte ich eine Matrix T finden, so dass gilt:
[mm] T^{-1}AT [/mm] = D
Ok hab ich auch gemacht war kein Problem, kurz [mm] T^{-1} [/mm] ausgerechnet:
[mm] T^{-1}= \pmat{-\bruch{1}{6} & -\bruch{1}{6} & \bruch{1}{3} \\ -\bruch{1}{6} & \bruch{5}{6} & \bruch{1}{3} \\\bruch{1}{3} & \bruch{1}{3} & \bruch{1}{3} \\}
[/mm]
Stimmt auch so habs überprüft.
Nun ist gefragt ob ich für T auch eine orhtogonale Matrix wählen kann. Ich weiss, dass ich eine orthogonale Matrix wählen kann, also die Vektoren der Matrix müssen dann ja orthogonal zueinander sein und den Betrag 1 haben. Wie geh ich aber jetzt da genau vor, dass ich die richtigen Parameter finde, damit die vektoren orthogonal sind und Betrag 1 haben?
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Hallo Marius6d,
> Ok vielen Dank! Ok also die Vektoren sind ja [mm]\vektor{-1 \\ -1 \\ 2}[/mm]
> , [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{2 \\ 0 \\ 1}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nun sollte ich eine Matrix T finden, so dass gilt:
>
> [mm]T^{-1}AT[/mm] = D
>
> Ok hab ich auch gemacht war kein Problem, kurz [mm]T^{-1}[/mm]
> ausgerechnet:
>
> [mm]T^{-1}= \pmat{-\bruch{1}{6} & -\bruch{1}{6} & \bruch{1}{3} \\ -\bruch{1}{6} & \bruch{5}{6} & \bruch{1}{3} \\\bruch{1}{3} & \bruch{1}{3} & \bruch{1}{3} \\}[/mm]
>
> Stimmt auch so habs überprüft.
>
> Nun ist gefragt ob ich für T auch eine orhtogonale Matrix
> wählen kann. Ich weiss, dass ich eine orthogonale Matrix
> wählen kann, also die Vektoren der Matrix müssen dann ja
> orthogonal zueinander sein und den Betrag 1 haben. Wie geh
Dann sind die Vektoren orthonormal zueinander
> ich aber jetzt da genau vor, dass ich die richtigen
> Parameter finde, damit die vektoren orthogonal sind und
> Betrag 1 haben?
Zunächst stellst Du fest, daß die Eigenvektoren zum Eigenwert 1
nicht orthogonal sind. Sind [mm]v_{1}, \ v_{2}[/mm] diese Eigen-
vektoren, so muß ein orthogonaler Vektor zu [mm]v_{1}[/mm] oder
[mm]v_{2}[/mm] orthogonal.
Beispielsweise für die Orthogonalität zu [mm]v_{1}[/mm] gilt:
[mm]\left(v_{2}-s*v_{1}\right)\* v_{1}=0[/mm]
Die Gleichung siehst Du am besten ein,
wenn Du Dir eine Skizze machst.
Aus der gegeben Gleichung ermittelst Du den Parameter s,
und somit den orthogonalen Vektor zu [mm]v_{1}[/mm].
Zu guter letzt, sind die erhaltenen Vektoren noch auf den
Betrag 1 zu normieren.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Fr 12.11.2010 | | Autor: | Marius6d |
Also das verstehe ich nicht ganz:
Die Vektoren zu 1 sind ja v1 = [mm] \vektor{-1 \\ 1\\ 0} [/mm] v2 = [mm] \vektor{2 \\ 0\\ 1}
[/mm]
Jetzt setze ich die in deine Gleichung ein:
(v2 -s*v1)*v1 = 0
[mm] (\vektor{2 \\ 0\\ 1}-s*\vektor{-1 \\ 1\\ 0})*\vektor{-1 \\ 1\\ 0}=0
[/mm]
[mm] ((\vektor{2 \\ 0\\ 1}-(\vektor{-s \\ s\\ 0})*\vektor{-1 \\ 1\\ 0}=0
[/mm]
[mm] ((\vektor{2+s \\ -s\\ 1})*\vektor{-1 \\ 1\\ 0}=0
[/mm]
=-2 -s -s = 0
-2 = 2s
s = -1
Und wie benutz ich diesen Parameter jetzt?
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Hallo Marius6d,
> Also das verstehe ich nicht ganz:
>
> Die Vektoren zu 1 sind ja v1 = [mm]\vektor{-1 \\ 1\\ 0}[/mm] v2 =
> [mm]\vektor{2 \\ 0\\ 1}[/mm]
>
> Jetzt setze ich die in deine Gleichung ein:
>
> (v2 -s*v1)*v1 = 0
>
> [mm](\vektor{2 \\ 0\\ 1}-s*\vektor{-1 \\ 1\\ 0})*\vektor{-1 \\ 1\\ 0}=0[/mm]
>
> [mm]((\vektor{2 \\ 0\\ 1}-(\vektor{-s \\ s\\ 0})*\vektor{-1 \\ 1\\ 0}=0[/mm]
>
> [mm]((\vektor{2+s \\ -s\\ 1})*\vektor{-1 \\ 1\\ 0}=0[/mm]
>
> =-2 -s -s = 0
>
> -2 = 2s
>
> s = -1
>
> Und wie benutz ich diesen Parameter jetzt?
>
Dann ergibt sich der orthognale Vektor zu [mm]v_{1}[/mm]:
[mm]v_{2}'=v_{2}-\left(-1\right)*v_{1}=v_{2}+v_{1}[/mm]
Diesen trägst Du statt dem Vektor [mm]v_{2}[/mm] in die Matrix T ein.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Fr 12.11.2010 | | Autor: | Marius6d |
Ahh vielen Dank, so bin ich auf:
T = [mm] \pmat{ -\bruch{1}{\wurzel{6}} & -\bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{3}}\\ -\bruch{1}{\wurzel{6}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{3}}\\ \bruch{2}{\wurzel{6}} & 0 & \bruch{1}{\wurzel{3}}\\}
[/mm]
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Hallo Marius6d,
> Ahh vielen Dank, so bin ich auf:
>
> T = [mm]\pmat{ -\bruch{1}{\wurzel{6}} & -\bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{3}}\\ -\bruch{1}{\wurzel{6}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{3}}\\ \bruch{2}{\wurzel{6}} & 0 & \bruch{1}{\wurzel{3}}\\}[/mm]
Das paßt.
Gruss
MathePower
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