Banachlimes < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Banachlimes ist eine lineare Abbildung [mm] L:l_\infty\to\IR [/mm] mit folgenden Eigenschaften:
(1) Translationsinvariant bzgl des Shiftoperators [mm] S:l_\infty\to{}l_\infty, S(x_n)=(x_{n+1})
[/mm]
(2) [mm] L(x)\ge0 [/mm] für alle [mm] x\in{}l_\infty [/mm] mit [mm] x_n>0
[/mm]
(3) L(e)=1 für e=(1,1,1...)
Zeige:
Kein Banachlimes kann in der Gestalt [mm] \sum_{k=1}^{\infty}a_kx_k [/mm] mit [mm] (x\in{}l_\infty) [/mm] sein. |
Hallo,
ja, ich habe hier keinen wirklichen Ansatz.
Zunächst ein paar Gedanken/Fragen von mir:
Sollen die [mm] a_k [/mm] in der Summe fest sein? Wenn ja, dann würde ja der Linksshift die Summe verändern, da ja der erste Summand wegfällt. Geht das schon in die richtige Richtung?
Ich weiß leider keinen anderen Ansatz. Mir ist aber weiter bekannt, und das wurde schon bewiesen, dass L stetig ist, und [mm] \Vert{L}\Vert=1 [/mm] gilt. Auch die Ungleichungskette mit [mm] \liminf [/mm] und [mm] \limsup [/mm] wurde bereits gezeigt.
Für Anmerkungen/Hinweise/Vorschläge wäre ich sehr dankbar.
Viele Grüße!
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Hiho,
> Sollen die [mm]a_k[/mm] in der Summe fest sein?
So wie die Aufgabe gestellt ist, soll wohl gelten:
$L(x) = [mm] \sum_{k=1}^{\infty}a_kx_k [/mm] $
> Wenn ja, dann würde ja der Linksshift die Summe verändern,
Zeige das, und du bist fertig.
> da ja der erste Summand wegfällt.
Das heißt ja nicht unbedingt, dass sich die Summe im gesamten verändert. Die restlichen Änderungen könnten das ja gerade aufheben.
> Geht das schon in die richtige Richtung?
Ja.
Ich würde genauso ran gehen wie du.
Mach dir erstmal klar, dass aus der Definition sofort folgt:
i) [mm] $a_k \ge 0\; \forall\, [/mm] k$
ii) [mm] $\summe_{k=0}^\infty a_k [/mm] = 1$
Insbesondere also [mm] $a_k \to [/mm] 0$.
Und dann sollte das doch zu machen sein, dass der Shift-Operator das Ding eben nicht invariant lässt 
Gruß,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:30 So 05.01.2014 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo Gono,
vielen Dank für deine Antwort. Sie war wie immer hilfreich.
Danke für die Bestätigung und den Schubser in die Idee zur Lösung.
Beste Grüße und guten Start in die Woche 2 des Kalenderjahres 2014.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:05 So 05.01.2014 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
eine schöne Möglichkeit wäre auch, mit dem Shiftoperator zu zeigen [mm] $a_1 [/mm] = [mm] a_2 [/mm] = [mm] \ldots$ [/mm] und damit
$L(x) = [mm] a_1 [/mm] * [mm] \summe_{k=1}^\infty x_k$, [/mm] was sofort gegen (3) verstösst 
Gruß,
Gono.
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