Abhängigkeit, Dimension < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:56 Di 17.05.2011 | | Autor: | Pia90 |
Hallo zusammen,
komme mal wieder bei einer Aufgabe nicht weiter und zwar geht es um lineare Abhängigkeit und Dimension.
Also:
Gegeben seien die Matrizen A [mm] =\pmat{ 3 & -1 \\ 5 & -1/4 }, [/mm] B= [mm] \pmat{ 1 & -2 \\ 0 & 2 }, [/mm] C= [mm] \pmat{ -1 & -2 \\ -4 & 3 }, [/mm] D= [mm] \pmat{ 11 & -14 \\ 8 & 12 }. [/mm] Sind A, B, C, D linear abhängig über [mm] \IR [/mm] ? Sind A, B, C und B,C,D jeweils linear abhängig über [mm] \IR? [/mm] Wenn ja, bestimmen Sie die Koeffizienten. Bestimmen Sie dim<A,B,C> und dim <B,C,D>.
Ich habe nun die lineare Unabhängigkeit geprüft und bekomme sowohl bei A,B,C,D wie auch bei A,B,C und B,C,D jeweils weitere als die triviale Lösung heraus, somit also lineare Abhängigkeit. Und auch die Koeffizienten habe ich bestimmt. Mein Problem ist die Dimension, da ich das anscheinend noch nicht so ganz verstanden habe...
Meine erste Überlegung war, dass man diese nicht bestimmen kann, weil die matrizen linear abhängig sind und somit keine Basis bilden? Oder bin ich damit auf einem total falschen Weg?
Würde mich sehr über Rückmeldungen oder Hilfen freuen!
Danke schonmal im Voraus!
LG Pia
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Moin Pia,
> Hallo zusammen,
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> komme mal wieder bei einer Aufgabe nicht weiter und zwar
> geht es um lineare Abhängigkeit und Dimension.
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> Also:
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> Gegeben seien die Matrizen A [mm]=\pmat{ 3 & -1 \\ 5 & -1/4 },[/mm]
> B= [mm]\pmat{ 1 & -2 \\ 0 & 2 },[/mm] C= [mm]\pmat{ -1 & -2 \\ -4 & 3 },[/mm]
> D= [mm]\pmat{ 11 & -14 \\ 8 & 12 }.[/mm] Sind A, B, C, D linear
> abhängig über [mm]\IR[/mm] ? Sind A, B, C und B,C,D jeweils linear
> abhängig über [mm]\IR?[/mm] Wenn ja, bestimmen Sie die
> Koeffizienten. Bestimmen Sie dim<A,B,C> und dim <B,C,D>.
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> Ich habe nun die lineare Unabhängigkeit geprüft und
> bekomme sowohl bei A,B,C,D wie auch bei A,B,C und B,C,D
> jeweils weitere als die triviale Lösung heraus, somit also
> lineare Abhängigkeit. Und auch die Koeffizienten habe ich
> bestimmt. Mein Problem ist die Dimension, da ich das
> anscheinend noch nicht so ganz verstanden habe...
> Meine erste Überlegung war, dass man diese nicht
> bestimmen kann, weil die matrizen linear abhängig sind und
> somit keine Basis bilden? Oder bin ich damit auf einem
> total falschen Weg?
Leider ja.
Die Dimension eines (Unter-)Vektorraums ist definiert als Länge einer beliebigen Basis dieses Raums.
Wenn also nach der Dimension von <A,B,C> gefragt ist, musst du die Länge eines maximal linear unabhängigen Systems, dass diesen Raum vollständig aufspannt, ermitteln.
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> Würde mich sehr über Rückmeldungen oder Hilfen freuen!
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> Danke schonmal im Voraus!
>
> LG Pia
LG
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